Udowodnij, że :
a) \(T \vec{w} * T \vec{u} = T \vec{u+w}\)
b) w translacji obrazem prostej jest prosta do niej równoległa.
Dziękuję za każdą chociaż małą podpowiedź.
Translacja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
a)
Weźmy dowolny punkt P. Niech T_{\vec{u}}(P)=P' i T_{\vec{w}}(P')=P''. Wówczas \(P''=T_{\vec{w}}T_{\vec{u}}(P)=P''\)
Z definicji translacji wynika, że \(\vec{PP'}=\vec{u}\ \ i\ \ \vec{P'P''}=\vec{v}\).
Z definicji sumy wektorów wynika, że \(\vec{PP''}=\vec{PP'}+\vec{P'P"}=\vec{u}+\vec{w}\)
Z tego, że P jest dowolnym punktem wynika, że \(T_{\vec{w}}T_{\vec{u}}=T_{\vec{u}+\vec{w}}\)
b)
Weźmy dowolną prostą k. Wybierzmy na niej dwa dowolne różne punkty A i B. Obrazem prostej AB w translacji \(T_{\vec{u}}\) jest prosta A'B'.
Z definicji translacji wynika, że:
\(\vec{AA'}=\vec{BB'}=\vec{u}\).
Wektory są równe, jeśli są równoległe i maja równe długości.
Punkty A, B, A', B' są więc wierzchołkami równoległoboku, czyli \(AB \parallel A'B'\)
Weźmy dowolny punkt P. Niech T_{\vec{u}}(P)=P' i T_{\vec{w}}(P')=P''. Wówczas \(P''=T_{\vec{w}}T_{\vec{u}}(P)=P''\)
Z definicji translacji wynika, że \(\vec{PP'}=\vec{u}\ \ i\ \ \vec{P'P''}=\vec{v}\).
Z definicji sumy wektorów wynika, że \(\vec{PP''}=\vec{PP'}+\vec{P'P"}=\vec{u}+\vec{w}\)
Z tego, że P jest dowolnym punktem wynika, że \(T_{\vec{w}}T_{\vec{u}}=T_{\vec{u}+\vec{w}}\)
b)
Weźmy dowolną prostą k. Wybierzmy na niej dwa dowolne różne punkty A i B. Obrazem prostej AB w translacji \(T_{\vec{u}}\) jest prosta A'B'.
Z definicji translacji wynika, że:
\(\vec{AA'}=\vec{BB'}=\vec{u}\).
Wektory są równe, jeśli są równoległe i maja równe długości.
Punkty A, B, A', B' są więc wierzchołkami równoległoboku, czyli \(AB \parallel A'B'\)