ostrosłup prawidłowy trójkątny

[wera]

Oblicz V i Pc ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, którego wysokość jest 2 razy większa od wysokości podstawy równej 4

[domino21]

ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny
\(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}
4=\frac{a\sqrt{3}}{2}
a\sqrt{3}=8
a=\frac{8}{\sqrt{3}}\)

\(P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\frac{64}{3}\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{3}\)

wysokość jest dwa razy dłuższa od wysokości podstawy, czyli ma długość:
\(H=2\cdot 4=8\)

liczymy objętość:
\(V=\frac{1}{3} P_p \cdot H
V=\frac{1}{3} \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3} \cdot 8=\frac{128\sqrt{3}}{9}\)

policzymy długość krawędzi bocznej:
\(H^2+(\frac{2}{3}h)^2=d^2
d^2=8^2+(\frac{2}{3} \cdot 4)^2
d^2=64+\frac{64}{9}=\frac{640}{9}
d=\frac{8\sqrt{10}}{3}\)

wysokość ściany bocznej h'
\(h'^2+(\frac{a}{2})^2=d^2
h'^2+(\frac{4}{\sqrt{3}})^2=\frac{640}{9}
h'^2=\frac{640}{9}-\frac{16}{3}
h'^2=\frac{592}{9} \ \Rightarrow \ h'=\frac{4\sqrt{37}}{3}\)

pole ściany bocznej:
\(P_s=\frac{1}{2} \cdot a\cdot h'
P_s=\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{4\sqrt{37}}{3}=\frac{16\sqrt{111}}{9}\)

pole całkowite:
\(P_c=P_p+3P_s=\frac{16\sqrt{3}}{3}+3\cdot \frac{16\sqrt{111}}{9}=\frac{16\sqrt{3}}{3}+\frac{16\sqrt{111}}{3}
P_c=\frac{16(\sqrt{3}+\sqrt{111})}{3}\)

[Galen]

h = 4 ----------wysokość podstawy
H = 2h = 8 -----------------------wysokość ostrosłupa
w ----------------- wysokość ściany bocznej (do obliczania pola całkowitego)
a -----------------krawędź podstawy
[a pierw.3]/2 = 4
a pierw.3 = 8
a = 8/[pierw.3]
V = (1/3)*{8/[pierw.3]}^2 * (pierw.3)/4 * 8 =[128*pierw.3]/9
Wysokość ściany bocznej oblicz z trójkąta prostokątnego jaki tworzy wysokość ostrosłupa,(1/3)wysokości
podstawy i wysokość ściany bocznej.Tw.Pitagorasa:
[(1/3)h]^2 + H^2 = w^2
w^2 =(4/3)^2 + 8^2 = (16/9) + 64 =592/9-----------------w = (pierw.592)/3
P = [a*a*pierw.3]/4 + 3 * (1/2) a*w=[64/3]/4 +(3/2)*8/[pierw.3] *(pierw. 592)/3
Przelicz samodzielnie

[irena]

h=4
a- krawędź podstawy
\(\frac{a\sqrt{3}}{2}=4\\a=\frac{8\sqrt{3}}{3}\)
H- wysokość ostrosłupa
H=8

Pole podstawy:
\(P_p=\frac{1}{2}\cdot\frac{8\sqrt{3}}{3}\cdot4=\frac{16\sqrt{3}}{3}\)

Objętość:
\(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{16\sqrt{3}}{3}\cdot8=\frac{128\sqrt{3}}{9}\)

r- promień okręgu wpisanego w trójkąt podstawy
\(r=\frac{1}{3}h\\r=\frac{4}{3}\)

\(h_b\)- wysokość ściany bocznej
\(h_b^2=H^2+r^2\\h_b^2=64+\frac{16}{9}\\h_b^2=\frac{592}{9}\\h_b=\frac{4\sqrt{37}}{3}\)

Pole powierzchni bocznej:
\(P_b=3\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{8\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{4\sqrt{37}}{3}=\frac{16\sqrt{111}}{3}\)

Pole powierzchni całkowitej:
\(P_c=P_p+P_b\\P_c=\frac{16\sqrt{3}}{3}+\frac{16\sqrt{111}}{3}=\frac{16(\sqrt{3}+\sqrt{111})}{3}\)

[domino21]

irena, sprawdź swoje obliczenia, pole podstawy i pole powierzchni bocznej

[irena]

Ja zauważyłam wcześniej.
A ty sprawdź wysokość ściany bocznej

[domino21]

a widzisz, czujne oko Ireny daje znać thx

[domino21]

właśnie o tą 3 mi chodziło

[wera]

dzięki wszystkim bardzo!!!