Dowodzenie nierówności.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
tometomek91
- Czasem tu bywam
- Posty: 133
- Rejestracja: 05 wrz 2009, 18:57
- Podziękowania: 42 razy
- Otrzymane podziękowania: 4 razy
Dowodzenie nierówności.
Udowodnij, że długości boków a,b,c dowolnego trójkąta spełniają nierówność: \(a^{2}+b^{2}+c^{2}<2(ab + ac + bc)\).
Jeśli a, b, c- boki trójkąta, to:
\(\begin{cases}|b-c|<a\\|a-b|<c\\|a-c|<b \end{cases} \\ \begin{cases}(b-c)^2<a^2\\(a-b)^2<c^2\\(a-c)^2<b^2 \end{cases} \\ \begin{cases}b^2-2bc+c^2<a^2\\a^2-2ab+b^2<c^2\\a^2-2ac+c^2<b^2 \end{cases} \\ \begin{cases}b^2+c^2-a^2<2bc\\a^2+b^2-c^2<2ab\\a^2+c^2-b^2<2ac \end{cases}\)
Po dodaniu stronami nierówności mamy:
\(a^2+b^2+c^2<2(ab+ac+bc)\)
\(\begin{cases}|b-c|<a\\|a-b|<c\\|a-c|<b \end{cases} \\ \begin{cases}(b-c)^2<a^2\\(a-b)^2<c^2\\(a-c)^2<b^2 \end{cases} \\ \begin{cases}b^2-2bc+c^2<a^2\\a^2-2ab+b^2<c^2\\a^2-2ac+c^2<b^2 \end{cases} \\ \begin{cases}b^2+c^2-a^2<2bc\\a^2+b^2-c^2<2ab\\a^2+c^2-b^2<2ac \end{cases}\)
Po dodaniu stronami nierówności mamy:
\(a^2+b^2+c^2<2(ab+ac+bc)\)