Matura 2010 nierówność

[Zapfen]

Witam, mianowicie nie umiem sie zabrać do tej nierówności \(|2x+4|+|x-1| \le 6\) moze ktoś wyjaśnić?

[Zapfen]

ja zabieram sie tak : zbiór <0;2 \pi >
\(2cos^2x-5sinx-4=0
2(sin^2x-1)-5sinx-4=0
2sin^2x-2-5sinx-4=0
2sin^2x-5sinx-6=0
2T^2-5T-6=0
\Delta =b^2-4ac
\Delta=(-5)^2-4*2*(-6)
\Delta=25+48
\Delta=73
\sqrt{ \Delta }= \sqrt{73}

x1= \frac{5+\sqrt{73} }{4}
x2= \frac{5- \sqrt{73} }{4} ,\) <- odpada bo na minusie

[Zapfen]

do drugiego zadania

[Galen]

|2x+4| = 2x+4 dla x € [-2 ;+niesk.) natomiast dla x € (-niesk.;-2) |2x+4|=-2x-4
Analogicznie
|x-1| = x-1 dla x € [1;+niesk.), zaś dla x € (-niesk.;1) |x-1| = -x+1
Nierówność rozwiązujesz w przedziałach (-niesk.;-2),[-2;1),[1;+niesk.)
W pierwszym z tych przedziałów nierówność ma postać:
-2x-4-x+1=<6
-3x =< 9
x>=-3 i x< -2 <========= > x € [-3 ; -2)
W drugim:
2x+4-x+1 =< 6
x =< 1 i x € [-2;1)
To oznacza,że wszystkie liczby w tym przedziale spełniają nierówność.
W trzecim:
2x+4+x-1=<6
x =<1 i x€[1;+niesk) ========== > x € {1}
Sumujesz zbiory rozwiązań i masz odpowiedź: x € [-3;1]
Przedział obustronnie domknięty,niektórzy piszą <-3 ; 1>

[domino21]

przecież
\(\cos^2 x=1-\sin^2 x\)

[Zapfen]

fakt mój błąd, ale dalej nie rozumiem co dalej mam zrobić:
\(2(1-sin^2x)-5sinx-4=0
2-2sin^2x-5sinx-4=0
-2sin^2x-5sinx-2=0 | * (-1)
2sin^2x+5sinx+2=0
2T^2+5T+2=0
\delta=9
\sqrt{\delta} =3
T1=2
T2= \frac{1}{2}\)

[Pol]

\(sin x = \frac 1 2\)

[Zapfen]

czyli
\(\sin x= \frac{1}{2}
\sin 30^ {\circ}= \frac{1}{2}
\sin \frac{\pi}{6}= \frac{1}{2}\)
więc
\(x=\frac{ \pi}{6} +2k \pi
x= \frac{5}{6}\pi +2k \pi\)

tak?

[Pol]

prawie, trzeba uwzględnić dziedzinę, którą podałeś pisząc zadanie

[Zapfen]

czyli przedział
\(\left\langle0;2 \pi \right\rangle\)
wiec
\(x= \frac{ \pi }{6} i x \frac{5}{6} \pi\)
? to koniec ?




nie rozumiem też dokońca zadania 6 z matury :
Wyznacz wszystkie wartości param m, dla których równanie \(x^2+mx+2=0\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od \(2m^2-13\)

[Pol]

\(\{ \Delta \ > \ 0
x_1^2+x_2^2 \ > \ 2m^2-13\)

\(x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)

\(\{ \Delta \ > \ 0
(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \ > \ 2m^2-13\)

do drugiego równania w układzie wykorzystujesz wzory vieta

[Zapfen]

a mozesz bardziej rozpisać, bo nie rozumiem i tak jak mam tego m-a wyznaczyc

[Pol]

\(x^2+mx+2=0\)

warunki jakie mają zostać spełnione:

\(\{ \Delta \ > \ 0
x_1^2+x_2^2 \ > \ 2m^2-13\)

po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia:

\(\{ \Delta \ > \ 0
(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \ > \ 2m^2-13\)

obliczamy deltę:

\(\Delta = m^2-8\)

wykorzystujemy wzory vieta:

\(x_1+x_2 = - \frac b a = -m
x_1 \cdot x_2 = \frac c a = 2\)

podstawiamy do warunków

\(\{ m^2-8 \ > \ 0
m^2-2 \cdot 2 \ > \ 2m^2-13\)

\(\{ (m-2 \sqrt{2})(m+2\sqrt{2}) \ > \ 0 \ \Rightarrow \ m \in (- \infty \ ; -2\sqrt{2}) \ \cup \ (2\sqrt{2} \ ; \ \infty )
m^2-9 \ < \ 0 \ \Rightarrow \ m \in (-3 \ ; \ 3)\)

łączymy oba warunki i mamy:

\(m \in (-3; \ -2\sqrt{2}) \ \cup \ (2\sqrt{2}; \ 3)\)

[domino21]

mały błąd wkradł się:

\(2T^2+5T+2=0
\delta=9
\sqrt{\delta} =3
T1=2
T2= \frac{1}{2}\)

a powinno być:

\(t_1=\frac{-5-3}{4}=-2
t_2=\frac{-5+3}{4}=-\frac{1}{2}\)

\(\sin x=-\frac{1}{2}
x=\frac{7\pi}{6} \ \vee \ x=\frac{11\pi}{6}\)