1. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego krawędź boczna jest równa 8 \sqrt{2}(8 pierwiastków z 2) cm, a miara kąta nachylenia tej krawędzi do podstawy wynosi 45 (stopni).
2. Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy równej 6cm, jeśli wysokość ściany bocznej jest równa 5cm.
3. Podstawą ostrosłupa jest romb. Wysokość rombu wynosi 9cm, a kąt ostry rombu 60 (stopni). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli jego wysokość jest dwa razy dłuższa od boku rombu.
4. Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 256cm3(sześciennych), a krawędź podstawy ma długość 8cm. Jaka jest wysokość tego ostrosłupa ?
4 zadania z ostrosłupów
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma w podstawie sześciokąt foremny.
Krawędź boczna (b), wysokość ostrosłupa (H) i promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa (R) tworzą trójkąt prostokątny, w którym odcinki H i R tworzą kąt prosty, a odcinki b i R - kąt \(45^o\). Jest to trójkąt równoramienny prostokątny o przeciwprostokątnej \(8\sqrt{2}cm\), więc przyprostokątne mają długość \(\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=8cm\). Stąd: H=R=8cm.
Krawędź podstawy (a) to bok sześciokąta foremnego, w którym a=R, więc a=8cm.
Pole podstawy:
\(P_p=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\P_p=6\cdot\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=96\sqrt{3}cm^2\)
Ściany boczne tego ostrosłupa to trójkąty równoramienne o podstawie \(a=8cm\) i ramionach \(8\sqrt{2}cm\), czyli, z twierdzenia Pitagorasa można obliczyć wysokość ściany bocznej (h):
\(h^2+4^2=(8\sqrt{2})^2\\h^2+16=128\\h^2=112\\h=\sqrt{112}=4\sqrt{7}cm\)
Pole powierzchni bocznej:
\(P_b=6\cdot\frac{1}{2}\cdot8\cdot4\sqrt{7}=96\sqrt{7}cm^2\)
Pole powierzchni:
\(P_c=P_p+P_b\\P_c=96\sqrt{3}+96\sqrt{7}=96(\sqrt{3}+\sqrt{7})cm^2\)
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma w podstawie sześciokąt foremny.
Krawędź boczna (b), wysokość ostrosłupa (H) i promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa (R) tworzą trójkąt prostokątny, w którym odcinki H i R tworzą kąt prosty, a odcinki b i R - kąt \(45^o\). Jest to trójkąt równoramienny prostokątny o przeciwprostokątnej \(8\sqrt{2}cm\), więc przyprostokątne mają długość \(\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=8cm\). Stąd: H=R=8cm.
Krawędź podstawy (a) to bok sześciokąta foremnego, w którym a=R, więc a=8cm.
Pole podstawy:
\(P_p=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\P_p=6\cdot\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=96\sqrt{3}cm^2\)
Ściany boczne tego ostrosłupa to trójkąty równoramienne o podstawie \(a=8cm\) i ramionach \(8\sqrt{2}cm\), czyli, z twierdzenia Pitagorasa można obliczyć wysokość ściany bocznej (h):
\(h^2+4^2=(8\sqrt{2})^2\\h^2+16=128\\h^2=112\\h=\sqrt{112}=4\sqrt{7}cm\)
Pole powierzchni bocznej:
\(P_b=6\cdot\frac{1}{2}\cdot8\cdot4\sqrt{7}=96\sqrt{7}cm^2\)
Pole powierzchni:
\(P_c=P_p+P_b\\P_c=96\sqrt{3}+96\sqrt{7}=96(\sqrt{3}+\sqrt{7})cm^2\)
2.
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku a=6cm.
Pole podstawy:
\(P_p=6^2=36cm^2\)
Wysokość ostrosłupa (H), wysokość ściany bocznej ostrosłupa (h) i promień okręgu wpisanego w kwadrat podstawy (r) tworzą trójkąt prostokątny. Dla kwadratu \(r=\frac{1}{2}a=3cm\).
Z twierdzenia Pitagorasa:
\(H^2+r^2=h^2\\H^2+3^2=5^2\\H^2=16\\H=4cm\)
Objętość ostrosłupa:
\(V=\frac{1}{3}\cdot36\cdot4=48cm^3\)
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku a=6cm.
Pole podstawy:
\(P_p=6^2=36cm^2\)
Wysokość ostrosłupa (H), wysokość ściany bocznej ostrosłupa (h) i promień okręgu wpisanego w kwadrat podstawy (r) tworzą trójkąt prostokątny. Dla kwadratu \(r=\frac{1}{2}a=3cm\).
Z twierdzenia Pitagorasa:
\(H^2+r^2=h^2\\H^2+3^2=5^2\\H^2=16\\H=4cm\)
Objętość ostrosłupa:
\(V=\frac{1}{3}\cdot36\cdot4=48cm^3\)
3.
Narysuj romb, a w nim wysokość (h=9cm). Odcina ona trójkąt prostokątny o kącie \(60^o\), czyli trójkąt będący połową trójkąta równobocznego. Bok h leży naprzeciw kąta \(60^o\), więc jest wysokością trójkąta równobocznego, a przeciwprostokątna a to bok tego trójkąta (i bok rombu, czyli krawędź podstawy ostrosłupa).
Mamy:
\(\frac{a\sqrt{3}}{2}=9\\a\sqrt{3}=18\\a=\frac{18}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6\sqrt{3}cm\)
Pole podstawy ostrosłupa:
\(P_p=6\sqrt{3}\cdot9=54\sqrt{3}cm^2\)
Z treści zadania mamy: H=2a, gdzie H to wysokość ostrosłupa, czyli \(h=12\sqrt{3}cm\)
Objętość:
\(V=\frac{1}{3}\cdot54\sqrt{3}\cdot12\sqrt{3}=648cm^3\)
Narysuj romb, a w nim wysokość (h=9cm). Odcina ona trójkąt prostokątny o kącie \(60^o\), czyli trójkąt będący połową trójkąta równobocznego. Bok h leży naprzeciw kąta \(60^o\), więc jest wysokością trójkąta równobocznego, a przeciwprostokątna a to bok tego trójkąta (i bok rombu, czyli krawędź podstawy ostrosłupa).
Mamy:
\(\frac{a\sqrt{3}}{2}=9\\a\sqrt{3}=18\\a=\frac{18}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6\sqrt{3}cm\)
Pole podstawy ostrosłupa:
\(P_p=6\sqrt{3}\cdot9=54\sqrt{3}cm^2\)
Z treści zadania mamy: H=2a, gdzie H to wysokość ostrosłupa, czyli \(h=12\sqrt{3}cm\)
Objętość:
\(V=\frac{1}{3}\cdot54\sqrt{3}\cdot12\sqrt{3}=648cm^3\)