Granice trzech ciągów - problem z 'minusami'.

[rebus]

Dzień dobry, mam problem z przykładami b oraz g z zadania 30:

482429125_638658255477938_6103193151469286049_n.jpg

Zależy mi na tym, żebym miał pewien "schemat działania" w przypadku gdy pojawią się takie granice, w których pod pierwiastkiem nie będą same plusy, a pojawi się minus. Jak podchodzi się do tego typu przykładów?

Pozdrawiam.

[Tulio]

Podobnie jak do plusów (z trzech ciągów).
Dla dostatecznie dużych \(n\) zachodzi:
\[8^n - \frac{1}{5} \cdot 8^n \le 8^n-5^n\le 8^n\]
Obie granice dążą do \(8\) więc i środkowa musi.

[rebus]

W jaki sposób ograniczyłeś tą lewą stronę? skąd to wynika? mógłbyś opisać w jaki sposób doszedłeś do tego?

[Tulio]

No wynika to z tego, że \(8^n\) dąży do nieskończoności znacznie szybciej niż \(5^n\). Znacznie szybciej (od pewnego \(n\)) więc nawet "skalując" \(8^n\) to szybko będzie więcej niż \(5^n\).

\(\frac{1}{5}\) dałem bo miałem taką fantazję (chciałem coś z piątką). Może być tam dowolny ułamek, tj

\(\frac{a}{b} \cdot 8^n > 5^n\) od pewnego \(n\) dla \(0<a<b\).