Równania

[agatakoss1]

Dzień dobry,

potrzebuję pomocy z dwoma zadaniami

Zadanie 1.
Rozwiąż w zbiorze liczb całkowitych:
a. \[x^2-3y=17\]
b. \[x_1^4+x_2^4+...+x_{14}^4 =1599\]

[Jerry]

Rozwiąż w zbiorze liczb całkowitych: \(x^2-3y=17\)

Równanie jest równoważne: \(x^2=3(y+5)+2\).
Ponieważ

1. dla \(x\in\zz\) mamy
   • \(x\equiv0\mod3\So x^2\equiv0\mod3\)
   • \(x\equiv\pm1\mod3\So x^2\equiv1\mod3\)
   czyli
   \(L_R\equiv0\mod 3\quad\vee\quad L_R\equiv 1\mod 3,\)
2. dla \(y\in\zz\) mamy
   \(P_R=3(y+5)+2\equiv2\mod3\)

to
\[\bigwedge\limits_{(x,y)\in\zz^2}L_T\ne P_T\]
Pozdrawiam

[Jerry]

Rozwiąż w zbiorze liczb całkowitych: \(x_1^4+x_2^4+...+x_{14}^4 =1599\)

Przyjmijmy, że \(|x_1|\le |x_2|\le \ldots\le| x_{14}|\). Przed udzieleniem ostatecznej odpowiedzi rozpatrz wszystkie permutacje tego rozwiązania

• \(1599=x_1^4+x_2^4+...+x_{14}^4 \ge x_{14}^4\So |x_{14}|\le6\)
• \(1599=x_1^4+x_2^4+...+x_{14}^4 \le 14\cdot x_{14}^4\So |x_{14}|\ge4\)

1. \(x_{14}=4\So x_1^4+x_2^4+...+x_{13}^4=1343\) i analogicznie jak wyżej mamy \(4\le| x_{13}|\le4\)
2. \(x_{14}=5\So x_1^4+x_2^4+...+x_{13}^4=974\), czyli \(3\le |x_{13}|\le5\)
3. \(x_{14}=6\So x_1^4+x_2^4+...+x_{13}^4=303\), czyli \(2\le |x_{13}|\le4\)

i tak dalej... przepraszam, znudziło mi się

Pozdrawiam
PS. Może ktoś, coś szybciej? Może i ja rano coś wymyślę

[Tulio]

\(1599 = 1600-1 \equiv 15 \left( \mod 16\right) \)
Dla dowolnego \(x\) zachodzi \(x^4 \equiv 0 \left( \mod 16\right) \vee x^4 \equiv 1 \left( \mod 16\right) \)
Stąd: brak rozwiązań.

[Jerry]

Analizowałem w nocy kongruencje, bo podejrzewałem sprzeczność równania, ale do szesnastki nie dotarłem...

Pozdrawiam
PS. Dziś, cały dzień, nie mogłem połączyć się z portalem