Równanie trygonometryczne :c

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
XNDFRHVDC
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 18 paź 2021, 20:44

Równanie trygonometryczne :c

Post autor: XNDFRHVDC »

Mam takie równanie: \((\cos x)^2-(\sin x)^2=0\)
mój wynik to:
x=π/4+2kπ
x=3π/4+2kπ
x=-π/4+2kπ
x=5π/4+2kπ

odp w książce to: π/4+kπ/2
czy moja odpowiedz jest prawidłowa?
sudowski27
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 18
Rejestracja: 14 lut 2016, 15:32
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 4 razy
Płeć:

Re: Równanie trygonometryczne :c

Post autor: sudowski27 »

Nie jest prawidłowa. Podałeś tylko kilka możliwych rozwiązań. Funkcja cos(x) i sin(x) jest funkcją okresową, więc będzie mieć nieskończenie wiele rozwiązań.

Wychodzisz pewnie z rozwiązania:
\( \cos(x) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \vee \cos(x) = -\frac{ \sqrt{2} }{2}\)

Teraz należy to uogólnić.
Zapis wyniku to offset + okres * k jako liczba całkowita
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3870
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 54 razy
Otrzymane podziękowania: 2067 razy

Re: Równanie trygonometryczne :c

Post autor: Jerry »

Wg mnie - jest prawidłowa, podałeś wszystkie cztery serie rozwiązań, które można "skleić" w jedną serię - "ładniejszą" odpowiedź.
Prościej, i bezpośrednio do odpowiedzi z książki, rozwiążesz to równania wykorzystując tożsamość:
\[\cos^2x-\sin^2x=\cos2x\]
i dane równanie jest równoważne
\[\cos2x=0\iff \left(2x={\pi\over2}+k\cdot\pi\wedge k\in\zz\right)\\ x={\pi\over4}+k\cdot{\pi\over2}\wedge k\in\zz\]
Pozdrawiam
PS. Pisz "matmę" w kodzie \(\LaTeX\)
Pisanie postów - pomoc (wersja obrazkowa).
Podziękuj osobie, której post Ci pomógł, klikając na ikonkę 👍.
XNDFRHVDC
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 18 paź 2021, 20:44

Re: Równanie trygonometryczne :c

Post autor: XNDFRHVDC »

W jaki sposób mogę skleić to w jedno rozwiazanie? Próbowałam już tak robić, jak mam kilka rozwiązań, ale nie do końca potrafię.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3870
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 54 razy
Otrzymane podziękowania: 2067 razy

Re: Równanie trygonometryczne :c

Post autor: Jerry »

Dobrym sposobem jest okrąg jednostkowy traktowany jako "oś liczbowa nawinięta na szpulkę o promieniu \(1\)".

Pozdrawiam
Pisanie postów - pomoc (wersja obrazkowa).
Podziękuj osobie, której post Ci pomógł, klikając na ikonkę 👍.
Tulio
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 347
Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
Podziękowania: 22 razy
Otrzymane podziękowania: 95 razy
Płeć:

Re: Równanie trygonometryczne :c

Post autor: Tulio »

Miałem deja vu
Tulio
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 347
Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
Podziękowania: 22 razy
Otrzymane podziękowania: 95 razy
Płeć:

Re: Równanie trygonometryczne :c

Post autor: Tulio »

Prostym sposobem jest także wypisanie wartość dla kilku \(k\) (np. \(0,1,2\)) i posortowanie wyników, u Ciebie byłoby:
\(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}, \frac{13\pi}{4}, \ldots \)

zauważamy "ciąg arytmetyczny" o "pierwszym wyrazie" \(-\frac{\pi}{4}\) i różnicy \(\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\)
więc wzór na ten ciąg to:
\(-\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\)
jaki, że ciąg ten jest nieskończony w obie strony to, to śmiało możemy przenieść "pierwszy wyraz" na dowolny inny, np.
\(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\)

podchodząc naprawdę profesjonalnie należałoby uzasadnić, że te wzory (Twoje cztery) faktycznie zawsze znajdą swój odpowiednik w tym jednym i odwrotnie, co nie jest trudne (patrz link co już wysłałem).