okrąg opisany na czworokącie

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Amaliaaaa
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 31 sty 2025, 18:06
Płeć:

okrąg opisany na czworokącie

Post autor: Amaliaaaa »

cześć, mam problem z trzema zadaniami, czy mógłby mi je ktoś wytłumaczyć?

1) w okrąg o środku \(O\) wpisano czworokąt \(ABCD\). Wyznacz katy tego czworokąta oraz kat ostry utworzony przez jego przekątne, jeśli \(|\angle AOB| = |\angle BOC| = 120^\circ\). oraz \(|\angle DBC| = 25^\circ\).

2) w okrąg o średnicy długości \(20\) cm wpisano trapez. Dłuższa podstawa trapezu ma długość \(16\) cm, a wysokość trapezu wynosi \(2\) cm. Oblicz długość krótszej podstawy tego trapezu.

3) W trójkącie \(ABC\) dane są: \(|\angle A| = 60 ^\circ,\ |\angle B| = 30^\circ\). Punkt \(D\) należy do boku \(AB\) oraz \(|AD|:|AB| = 1:3\). Odcinek \(CD\) przedłużono poza punkt \(D\) do punktu \(E\) takiego, że \(|AE| = |AC|\). Wykaż, że na czworokącie \(AEBC\) można opisać okrąg.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3870
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 54 razy
Otrzymane podziękowania: 2067 razy

Re: okrąg opisany na czworokącie

Post autor: Jerry »

Amaliaaaa pisze: 31 sty 2025, 18:20 3) W trójkącie ABC dane są: kąt A = 60 stopni, kąt B = 30 stopni. Punkt D należy do boku AB oraz |AD|:|AB| = 1:3. Odcinek CD przedłużono poza punkt D do punktu E takiego, że |AE| = |AC|. Wykaż, że na czworokącie AEBC można opisać okrąg.
Zrobiłem schludny rysunek:
z3.jpg
Można z niego zauważyć, że przy założeniu teza zadania nie jest prawdziwa!
Gdyby było (jak poglądowo naniosłem na rysunek)
\(|AD|:|\color{red}{D}B| = 1:3\)
to trójkąty \(ADC\) i \(AED\) byłyby przystającymi trójkątami prostokątnymi i czworokąt \(AEBC\) byłby deltoidem o kątach wewnętrznych \(120^\circ,\ 90^\circ,\ 60^\circ,\ 90^\circ\) i istniałby żądany okrąg.

Pozdrawiam
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
Pisanie postów - pomoc (wersja obrazkowa).
Podziękuj osobie, której post Ci pomógł, klikając na ikonkę 👍.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3870
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 54 razy
Otrzymane podziękowania: 2067 razy

Re: okrąg opisany na czworokącie

Post autor: Jerry »

Amaliaaaa pisze: 31 sty 2025, 18:20 2) w okrąg o średnicy długości 20 cm wpisano trapez. Dłuższa podstawa trapezu ma długość 16cm, a wysokość trapezu wynosi 2cm. Oblicz długość krótszej podstawy tego trapezu.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
z2.jpg
i dwukrotnie z tw. Pitagorasa mamy:
  1. \(|SM|=6\text{ cm}\So |SN|=8\text{ cm}\),
  2. \(|NC|=6\text{ cm}\So |DC|=12\text{ cm}\).
Pozdrawiam
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
Pisanie postów - pomoc (wersja obrazkowa).
Podziękuj osobie, której post Ci pomógł, klikając na ikonkę 👍.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3870
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 54 razy
Otrzymane podziękowania: 2067 razy

Re: okrąg opisany na czworokącie

Post autor: Jerry »

Amaliaaaa pisze: 31 sty 2025, 18:20 1) w okrąg o środku O wpisano czworokąt ABCD. Wyznacz katy tego czworokąta oraz kat ostry utworzony przez jego przekątne, jeśli kąt AOB = kat BOC = 120 stopni. oraz kąt DBC = 25 stopni.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
z1.jpg
Zauważmy, że \(\Delta ABC\) jest równoboczny i z twierdzeń geometrii koła:
  1. \(|\angle CDB|=|\angle CAB|=|\angle ACB|=|\angle ADB|=60^\circ\So |\angle ADC|=120^\circ\),
  2. \(|\angle DAC|=|\angle DBC|=25^\circ\So |\angle CDB|=85^\circ\),
  3. \(|\angle DCA|=|\angle DBA|=60^\circ-25^\circ=35^\circ\So|\angle DCB|=95^\circ\),
  4. z \(\Delta ABP:\ \gamma=180^\circ-60^\circ-35^\circ=85^\circ\)
Pozdrawiam
PS. Dziś poprawię Twój post - w przyszłości korzystaj z kodu \(\LaTeX\)(obrazkowa ściągawka).
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
Pisanie postów - pomoc (wersja obrazkowa).
Podziękuj osobie, której post Ci pomógł, klikając na ikonkę 👍.
Amaliaaaa
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 31 sty 2025, 18:06
Płeć:

Re: okrąg opisany na czworokącie

Post autor: Amaliaaaa »

Dziękuję bardzo za pomoc! :D
rebus
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 31 sty 2025, 23:34
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: okrąg opisany na czworokącie

Post autor: rebus »

Cześć. Jerry, czy mogę Cie prosić o troszkę dokładniejsze wytlumaczenie dlaczego założenie z zadania jest błędne? Gdyby założyć że |AD|:|AB|=1 : 3 to mamy, że 3|AD|=|AB|, czyli |BD|=2x. Trójkąt ABC jest prostokątny, charakterystyczny 30, 60, 90, stąd |AC| = 3x/2 a |BC|=3 * sqrt(3) * x / 2. Skoro trójkąt AEC ma być równoramienny, to kąt EAD ma również 60 stopni, a AD jest wysokością. One są przystające te trójkąty, stąd |DE|=|CD|. Jeśli tak to z pitagorasa w trókątach CDB i DEB mamy, że |BE|=|DE|. Wychodzi wtedy, że trójkąt AEB jest przystający do trójkąta ABC, gdzie kąty AEB i ACB mają po 90stopni, a to oznacza że warunek wpisania czworokąta w okrąg jest zachowany. Czy coś źle rozumuję? Niestety czytałem parę razy to co napisałeś i nie wiem dokładnie co miałeś na myśli...

Pozdrawiam,
Rebus
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3870
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 54 razy
Otrzymane podziękowania: 2067 razy

Re: okrąg opisany na czworokącie

Post autor: Jerry »

Jerry pisze: 31 sty 2025, 19:32 Zrobiłem schludny rysunek:...
Przeanalizuj go, proszę! Czy z tego rysunku wynika, że na \(AEBC\) można opisać okrąg? Wg mnie - nie! Jest to istotna przesłanka, że założenia są niekompletne albo fałszywe. Stąd moja odpowiedź.
Jeśli \(\overline{AD}\) byłaby wysokością, to (z własności trójkąta "ekierki") mamy:
\(|AD|=x>0\So |AC|=2x\So |AB|=4x\),
zatem
\(|AD|:|AB| = 1:4\)
czyli
Jerry pisze: 31 sty 2025, 19:32 \(|AD|:|\color{red}{D}B| = 1:3\)
Pozdrawiam
PS. Nie bierz sobie do głowy... wątek oczyściłem.
Pisanie postów - pomoc (wersja obrazkowa).
Podziękuj osobie, której post Ci pomógł, klikając na ikonkę 👍.
rebus
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 31 sty 2025, 23:34
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: okrąg opisany na czworokącie

Post autor: rebus »

Dziękuję już rozumiem.