Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
rege142
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 29 sty 2025, 21:19
Płeć:

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Post autor: rege142 »

Dzień dobry.
Wszystkie krawędzie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego mają długość a.
b) Podaj miarę kąta między krótszą przekątną graniastosłupa i krawędzią boczną mającą z tą przekątną wspólny koniec.
Jest to zadania 3.2/str 57 z drugiej części zbioru zadań Pana Andrzeja Kiełbasy.
Według odpowiedzi podanej do wyżej wymienionego zadania kąt powinien wynieść 60 stopni, ale nie do końca wiem dlaczego :?:
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2127
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 503 razy

Re: Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Post autor: janusz55 »

Dobry Wieczór

Jeśli wykonasz dokładny rysunek graniastosłupa sześciokątnego i jego podstawy, to zauważysz, że kąt między krótszą przekątną graniastosłupa i jego krawędzią boczną mające wspólny punkt, obliczymy z trójkąta prostokątnego ACC', w którym długość jego przyprostokątnych są równe

\( 2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3} \) oraz \( a.\)

Z określenia funkcji tangens \( \tg(\alpha) = \frac{|AC|}{|CC'|} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}. \)

Stąd

\( \alpha = \arctg(\sqrt{3}) = 60^{o}.\)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3870
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 54 razy
Otrzymane podziękowania: 2067 razy

Re: Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Post autor: Jerry »

Szukany kąt (\(\alpha\)) znajdziesz w trójkącie ograniczonym krawędzią boczną, krótszą przekątną podstawy i krótszą przekątną danego graniastosłupa (zrób schludny rysunek!). Zauważ, że jest to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(a\) (krawędź boczna) i \(a\sqrt3\) (krótsza przekątna podstawy), zatem \(\tg\alpha=\sqrt3\), czyli \(\alpha=60^\circ\).

Pozdrawiam
Pisanie postów - pomoc (wersja obrazkowa).
Podziękuj osobie, której post Ci pomógł, klikając na ikonkę 👍.