Dzień dobry.
Wszystkie krawędzie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego mają długość a.
b) Podaj miarę kąta między krótszą przekątną graniastosłupa i krawędzią boczną mającą z tą przekątną wspólny koniec.
Jest to zadania 3.2/str 57 z drugiej części zbioru zadań Pana Andrzeja Kiełbasy.
Według odpowiedzi podanej do wyżej wymienionego zadania kąt powinien wynieść 60 stopni, ale nie do końca wiem dlaczego
Jeśli wykonasz dokładny rysunek graniastosłupa sześciokątnego i jego podstawy, to zauważysz, że kąt między krótszą przekątną graniastosłupa i jego krawędzią boczną mające wspólny punkt, obliczymy z trójkąta prostokątnego ACC', w którym długość jego przyprostokątnych są równe
\( 2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3} \) oraz \( a.\)
Z określenia funkcji tangens \( \tg(\alpha) = \frac{|AC|}{|CC'|} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}. \)
Szukany kąt (\(\alpha\)) znajdziesz w trójkącie ograniczonym krawędzią boczną, krótszą przekątną podstawy i krótszą przekątną danego graniastosłupa (zrób schludny rysunek!). Zauważ, że jest to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(a\) (krawędź boczna) i \(a\sqrt3\) (krótsza przekątna podstawy), zatem \(\tg\alpha=\sqrt3\), czyli \(\alpha=60^\circ\).