Znajdowanie bijekcji na zbiorach
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Witam na forum
- Posty: 2
- Rejestracja: 25 sty 2025, 16:54
- Podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Znajdowanie bijekcji na zbiorach
Mam zadanie znaleźć bijekcję na zbiorach: [0,1) i R (zbiór liczb rzeczywistych. Problem pojawia się właśnie w domknięciu zbioru z lewej strony.
-
- Stały bywalec
- Posty: 347
- Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
- Podziękowania: 22 razy
- Otrzymane podziękowania: 95 razy
- Płeć:
Re: Znajdowanie bijekcji na zbiorach
Tangens na dziedzinie \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right)\) jest bijekcją między \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right)\) i \(\left[0,\infty\right)\).
Łatwo można go "przeskalować w poziomie" do dziedziny \(\left[0,1\right)\) i powstała funkcja będzie bijekcją między \(\left[0,1\right)\) a \(\left[0,\infty\right)\).
Można zwęzić bardziej do dziedziny \(\left[0,\frac{1}{2}\right)\)
a następnie stworzyć drugą analogiczną funkcję "minus tangens" na dziedzinie \(\left[\frac{1}{2},1\right)\).
Spiąć klamerką i mamy.
Łatwo można go "przeskalować w poziomie" do dziedziny \(\left[0,1\right)\) i powstała funkcja będzie bijekcją między \(\left[0,1\right)\) a \(\left[0,\infty\right)\).
Można zwęzić bardziej do dziedziny \(\left[0,\frac{1}{2}\right)\)
a następnie stworzyć drugą analogiczną funkcję "minus tangens" na dziedzinie \(\left[\frac{1}{2},1\right)\).
Spiąć klamerką i mamy.
-
- Witam na forum
- Posty: 2
- Rejestracja: 25 sty 2025, 16:54
- Podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Re: Znajdowanie bijekcji na zbiorach
Można zwęzić bardziej do dziedziny \(\left[0,\frac{1}{2}\right)\)
a następnie stworzyć drugą analogiczną funkcję "minus tangens" na dziedzinie \(\left[\frac{1}{2},1\right)\).
Spiąć klamerką i mamy.
[/quote]
A to wtedy nie jest tak, że to nie jest bijekcja bo dla 1/2 -tangens przyjmuje taką samą wartość jaką dla 0 przyjmuje tangens
a następnie stworzyć drugą analogiczną funkcję "minus tangens" na dziedzinie \(\left[\frac{1}{2},1\right)\).
Spiąć klamerką i mamy.
[/quote]
A to wtedy nie jest tak, że to nie jest bijekcja bo dla 1/2 -tangens przyjmuje taką samą wartość jaką dla 0 przyjmuje tangens
-
- Stały bywalec
- Posty: 347
- Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
- Podziękowania: 22 razy
- Otrzymane podziękowania: 95 razy
- Płeć:
Re: Znajdowanie bijekcji na zbiorach
Tak jest, a jak drugiego tangensa weźmiemy na przedziale otwartym \( \left( \frac{1}{2}; 1\right) \) to dwukrotnie tej samej wartości nie mamy, ale nie mamy całej dziedziny. Blisko było.
Drugi pomysł zatem już dokładniejszy, choć mniej ładny:
\(g \left( x\right) = \ln \left( \frac{1}{x} - 1\right) \) jest bijekcją między \( \left( 0,1\right) \) i \(\rr\).
Natomiast na dodanie jednego punktu, tj. na zamianę \( \left( 0,1\right) \) w \( \left[ 0,1\right) \) jest sztuczka o taka (tam na pozbycie się jednego punktu). Po jej dostosowaniu zrobiłbym tak:
\(f \left( x\right)= \begin{cases} \ln \left( \frac{1}{x} - 1\right), x \notin A \\ h\left(\ln \left( \frac{1}{x} - 1\right)\right), x
\in A \end{cases} \)
gdzie \(A\) jest zbiorem liczb postaci \(\frac{1}{n}\) oraz liczby \(0\) dla dowolnego \(n\ge2, n\in\nn\)
oraz funkcja \(h \left( x\right) \) dla każdej liczby wymiernej \(x \in \left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots \right\}=A \) przekształca ją "w następną", tj:
\(h \left(x\right) = \begin{cases} \frac{1}{2}, x = 0, \\ \frac{1}{n+1}, x=\frac{1}{n}\end{cases} \)
W ten sposób możemy stworzyć bijekcję między dowolnie otwarto-zamkniętym (\( \left( a,b\right) , \left[ a,b\right), \left( a,b\right], \left[ a,b\right] \)) przedziałem do dowolnie innego otwarto-zamkniętego przedziału.
PS. Tą samą sztuczką można (tak mi się przynajmniej wydaje) ulepszyć wersję z tangensami (czy to dla dwukrotnego zera - "odejmując" jeden punkt, czy to dla tangensów "nie łapiących" \(\frac{1}{2}\) - "dodając" jeden punkt).
PS 2. Patrzę na to już długo i tam chyba powinno być w drugim wierszu \(g(h(x))\) zamiast \(h(g(x))\), ale już nie jestem pewny
Drugi pomysł zatem już dokładniejszy, choć mniej ładny:
\(g \left( x\right) = \ln \left( \frac{1}{x} - 1\right) \) jest bijekcją między \( \left( 0,1\right) \) i \(\rr\).
Natomiast na dodanie jednego punktu, tj. na zamianę \( \left( 0,1\right) \) w \( \left[ 0,1\right) \) jest sztuczka o taka (tam na pozbycie się jednego punktu). Po jej dostosowaniu zrobiłbym tak:
\(f \left( x\right)= \begin{cases} \ln \left( \frac{1}{x} - 1\right), x \notin A \\ h\left(\ln \left( \frac{1}{x} - 1\right)\right), x
\in A \end{cases} \)
gdzie \(A\) jest zbiorem liczb postaci \(\frac{1}{n}\) oraz liczby \(0\) dla dowolnego \(n\ge2, n\in\nn\)
oraz funkcja \(h \left( x\right) \) dla każdej liczby wymiernej \(x \in \left\{ 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots \right\}=A \) przekształca ją "w następną", tj:
\(h \left(x\right) = \begin{cases} \frac{1}{2}, x = 0, \\ \frac{1}{n+1}, x=\frac{1}{n}\end{cases} \)
W ten sposób możemy stworzyć bijekcję między dowolnie otwarto-zamkniętym (\( \left( a,b\right) , \left[ a,b\right), \left( a,b\right], \left[ a,b\right] \)) przedziałem do dowolnie innego otwarto-zamkniętego przedziału.
PS. Tą samą sztuczką można (tak mi się przynajmniej wydaje) ulepszyć wersję z tangensami (czy to dla dwukrotnego zera - "odejmując" jeden punkt, czy to dla tangensów "nie łapiących" \(\frac{1}{2}\) - "dodając" jeden punkt).
PS 2. Patrzę na to już długo i tam chyba powinno być w drugim wierszu \(g(h(x))\) zamiast \(h(g(x))\), ale już nie jestem pewny