Dowody algebra

[kacperfilip]

Witam,
Potrzebuję pomocy przy trzech dowodach:
1)
Pokazać, że dla dowolnej macierzy \(A \in \rr^{n \times m}\), wartości własne macierzy \(A^TA\) są większe lub równe od zera.
2)
Pokazać, że dla dowolnej macierzy \(A \in \rr^{n \times n}\), zachodzi równość \(|e^A|=e^{tr(A)}\)
3)
Pokazać, że dla dowolnej macierzy symetrycznej \(A=A^T \in \rr\), wektory własne tej macierzy są ortogonalne.

[janusz55]

1.
Dowolny element \( x \) możemy zapisać jako kombinację liniową wektorów bazy ortonormalnej \( (e_{1},... e_{n}).\)

\( x = a_{1}e_{1} +... + a_{n} e_{n} \)

Niech wartościami własnymi danej macierzy \( A \) będą liczby \( \lambda_{1}, ... \lambda_{n} \ \ odpowiadające \ \ (e_{1},...e_{n}). \)

Wówczas

\( x^{T}A x = (a_{1}e_{1}^{T}+ ... +a_{n}e_{n}^{T})(a_{1} A e_{1} + ... + a_{n}Ae_{n}) = a^2_{1}\lambda_{1}+ ... +a^2_{n}\lambda_{n} \geq 0.\)

\( \Box \)