Indukcja matematyczna nierówności

[MathsIT]

Siema, czy ktoś umie to rozwiązać? Inne typy zadań z indukcją nie sprawiają mi trudności ale tych z nierównościami jakoś nie umiem
Zadanie
Udowodnić indukcyjnie nierówności
a) \(2^n \ge n^3\) dla \(n \ge 10\)
c) \(2^n > n^2\) dla \( n > 4\)
Ja np dla przykładu \(n! > 2^n\) dla \(n \ge 4\) robię to tak:
\(A=\{n\ge4: n! > 2^n\}\)
1. \(4 \in A \iff 4! > 2^4\)
\(24 > 16\) PRAWDA
2. Zakładamy, że \(n \in A\) tzn. \(n! > 2^n\) (ZI)
Udowodnimy, że \((n + 1) \in A\) tzn.
\((n+1)! > 2^{n+1}\) (TI)
\(L = (n+1)! = n!(n+1) > 2^n(n+1)\)
Czy ma ktoś jakiś sposób, który będzie analogiczny dla wszystkich przykładów z nierównościami?

[Jerry]

Udowodnić indukcyjnie nierówności
c) \(2^n > n^2\) dla \( n > 4\)

\[\bigwedge\limits_{n\in\nn_+\setminus\{1,2,3,4\}}2^n-n^2>0\]
jest prawdą na mocy ZIMZ, bo

1. Jeżeli \(n=5\), to \(2^5-5^5=32-25=7>0\),
2. przy założeniu, że dla pewnego \(n=k>4\) zachodzi \(2^k-k^2>0\) mamy:
   \[2^{k+1}-(k+1)^2=2\cdot2^k-2k^2+k^2-4k+2k-8+7=\\=2(2^k-k^2)+k(k-4)+2(k-4)+7\nad{\text{z ZI}}{>} 2\cdot0+0+0+7=7>0\]
   czyli zachodzi dla następnego \(n\).

Pozdrawiam

[Jerry]

a) \(2^n \ge n^3\) dla \(n \ge 10\)

Najistotniejsze, krok indukcyjny:
\[2^{k+1}-(k+1)^3=2\cdot2^k-2k^3+k^3-10k^2+7k^2-70k+63k-630+629=\\=
2(2^k-k^3)+k^2(k-10)+7k(k-10)+63(k-10)+629\nad{\text{z ZI}}{\ge}629>0\]
Pozdrawiam
PS. Równość w tej nierówności nie zachodzi, ale... skoro \(a>b\), to zachodzi alternatywa \(a\ge b\)

[janusz55]

a)
\( T(n): 2^{n} \geq n^3 \) dla \( n \geq 10.\)

1)
Zdanie

\(T(10) : 2^{10} = 1024 \geq 10^3 = 1000 \)

jest prawdziwe.

2)
Załóżmy, że dla pewnej liczby naturalnej liczby \( k\geq 10 \) prawdziwe jest zdanie

\( T(k): 2^{k} \geq k^3 \)

Wykażemy prawdziwość zdania

\( T(k+1): 2^{k+1} \geq (k+1)^3 \)

Przekształcając lewą stronę nierówności \( 2^{k+1} \geq (k+1)^3 \) i korzystając z nierówności \( 2^{k} \geq k^3 \) otrzymujemy

\( 2^{k+1} = 2\cdot 2^{k} \geq 2k^3 + 3k^2 + 3k + 1 = k^3 +3k^2+3k +1 +k^3 = (k+1)^3 + k^3 \geq (k+1)^3.\)

Zdanie \( T(k+1) \) jest więc prawdziwe.

Wykazaliśmy, że

1) zdanie \( T(10) \) jest prawdziwe.

2) dla każdej liczby naturalnej \( k\geq 10 \) z prawdziwości zdania \( T(k) \) wynika prawdziwość zdania \( T(k+1). \)

Wobec tego na podstawie zasady indukcji zupełnej, dla każdej liczby naturalnej \( n \geq 10 \) nierówność \( T(n) \) jest prawdziwa.

Podobnie wykazujemy pozostałą nierówność.

[Jerry]

... dla przykładu \(n! > 2^n\) dla \(n \ge 4\)

Robię to (i znowu tylko krok) tak:
\[(k+1)!-2^{k+1}=(k+1)\cdot k!-(k+1)\cdot2^k+(k-4)\cdot2^k+3\cdot2^4=\\=(k+1)(k!-2^k)+(k-4)\cdot2^k+3\cdot2^k\nad{\text{z ZI}}{>}(k+1)\cdot0+0+3\cdot2^k>0\]
Pozdrawiam

[Jerry]

...korzystając z nierówności \( 2^{k} \geq k^3 \) otrzymujemy

\( 2^{k+1} = 2\cdot 2^{k} \geq 2k^3 + 3k^2 + 3k + 1 = \ldots.\)

Rozpiszesz to, proszę, wolniej? Bo, wg mnie, otrzymujemy
\[2^{k+1} = 2\cdot 2^{k} \geq 2\cdot k^3\]
Pozdrawiam

[janusz55]

Masz rację \( 2^{k+1}= 2\cdot 2^{k} \geq 2k^3.\)

\( 2^{k+1} = 2\cdot 2^{k} > 2k^3 = k^3 + k^3 = k^3 + k\cdot k^2 \geq k^3 + 10k^2 = k^3 + 3k^2 +3k^2 + 4k^2 [3k^2 = 3k\cdot 3k\geq 3k\cdot 10 >3k]\geq k^3 + 3k^2+3k+1 = (k+1)^3.\)

\( 2^{k+1} \geq (k+1)^3, \ \ k\geq 10.\)

[janusz55]

\( 2^{k+1} = 2\cdot 2^{k} > 2k^3 = k^3 + k^3 = k^3 + k\cdot k^2 \geq k^3 + 10k^2 = k^3 + 3k^2 +3k^2 + 4k^2 [3k^2 = 3k\cdot k\geq 3k\cdot 10 >3k]\geq k^3 + 3k^2+3k+1 = (k+1)^3.\)

\( 2^{k+1} \geq (k+1)^3, \ \ k\geq 10.\)