Niezależne zmienne losowe

[dawid_l38]

Niech \((\Omega, F, \mathbb{P})\) będzie przestrzenią propabilistyczną i niech zmienne losowe \(X,Y,Z\) będą niezależne. Pokazać, że niezależne będą zmienne losowe \(X+Y\) oraz \(Z^2\)

[janusz55]

Korzystamy z własności funkcji charakterystycznych lub dystrybuanty lub gęstości lub wartości oczekiwanej dwóch zmiennych losowych niezależnych.

[dawid_l38]

rozpisałbyś?

[janusz55]

Jeżeli zmienne losowe \( X, Y \) są niezależne \( S_{2} = X +Y \), to funkcja charakterystyczna \( \phi_{X+Y}(t) = \phi_{X}(t) \cdot \phi_{Y}(t).\) - co świadczy o niezależności ich sumy.
'
Dowód

Z definicji funkcji charakterystycznych

\( \phi_{X+Y}(t) = E \left( e^{i t S_{2}} \right) = E \left(e^{itX}\cdot e^{itY}\right) = E \left(e^{itX}\right) \cdot E \left(e^{itY}\right) =\phi_{X}(t) \cdot \phi_{Y}(t).\)

\( \Box \)