Bryły wpisane i opisane 4

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Zuzanna2024
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 6
Rejestracja: 19 lis 2024, 10:22
Podziękowania: 14 razy
Płeć:

Bryły wpisane i opisane 4

Post autor: Zuzanna2024 »

Proszę o pomoc przy zadaniach:

1. Czworościan foremny o objętości \(48\text{ cm}^3\) wpisano w walec w taki sposób, że dwie skośne krawędzie tego czworościanu są średnicami podstaw walca. Oblicz objętość tego walca.

2. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny O o krawędzi podstawy długości Od tego ostrosłupa odcięto płaszczyzną równoległą do podstawy i przechodzącą przez środek wysokości ostrosłup ścięty T. W bryłę T wpisano dwa stożki: stożek \(S_1\) którego podstawa jest kołem wpisanym w większą podstawę bryły T, a wierzchołek jest środkiem symetrii mniejszej podstawy bryły T oraz stożek \(S_2\) którego podstawa jest kołem wpisanym w mniejszą podstawę bryły T a wierzchołek jest środkiem symetrii większej podstawy bryły T. Pole powierzchni bocznej stożka \(S_1\) jest równe \(600 \pi\text{ cm}^3\). Oblicz pole powierzchni bocznej stożka \(S_2\)

3. W sześcian S o objętości \(80 \text{ cm}^3\) wpisano stożek tak, że jego podstawa jest wpisana w ścianę sześcianu,
a wierzchołek należy do przeciwległej ściany sześcianu. W ten stożek wpisano sześcian T tak, że jedna z jego ścian jest zawarta w podstawie stożka, a pozostałe wierzchołki leżą na powierzchni bocznej stożka. Oblicz objętość sześcianu T
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3789
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 53 razy
Otrzymane podziękowania: 2050 razy

Re: Bryły wpisane i opisane 4

Post autor: Jerry »

Zuzanna2024 pisze: 19 lis 2024, 12:38 1. Czworościan foremny o objętości \(48\text{ cm}^3\) wpisano w walec w taki sposób, że dwie skośne krawędzie tego czworościanu są średnicami podstaw walca. Oblicz objętość tego walca.
Zobrazujmy sytuację rysunkiem, z szybkimi wnioskami,:
001.jpg
Wtedy \(H=\frac{a\sqrt2}{2}\) i objętość walca jest równa \(V_W=\pi\cdot\left({a\over2}\right)^2\cdot{a\sqrt2\over2}\), gdzie \(a\) spełnia równanie
\[{a^3\sqrt2\over12}=48\]
wynikające z objętości czworościanu.

Pozdrawiam
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3789
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 53 razy
Otrzymane podziękowania: 2050 razy

Re: Bryły wpisane i opisane 4

Post autor: Jerry »

Zuzanna2024 pisze: 19 lis 2024, 12:38 3. W sześcian S o objętości \(80 \text{ cm}^3\) wpisano stożek tak, że jego podstawa jest wpisana w ścianę sześcianu,
a wierzchołek należy do przeciwległej ściany sześcianu. W ten stożek wpisano sześcian T tak, że jedna z jego ścian jest zawarta w podstawie stożka, a pozostałe wierzchołki leżą na powierzchni bocznej stożka. Oblicz objętość sześcianu T
Wysokość stożka i średnica jego podstawy są równe \(a\) - długości krawędzi sześcianu \(S\), spełniającej równanie \(a^3=80\).
Zobrazujmy sytuację rysunkiem, z szybkimi wnioskami,:
001 (2).jpg
Z podobieństwa \(\Delta CMC_1\sim\Delta QMS\ (k,k)\) mamy
\[\frac{{a\over2}-{x\sqrt2\over2}}{x}=\frac{{a\over2}}{a}\iff x=(\sqrt2-1)a\]
Skąd odpowiedź:
\[V_T=x^3=(\sqrt2-1)^3a^3=(\sqrt2-1)^3\cdot80\]
Pozdrawiam

[edited]
Zuzanna2024 pisze: 19 lis 2024, 12:38 2. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny O o krawędzi podstawy długości Od ...
Czegoś chyba brakuje... :?
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
Zuzanna2024
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 6
Rejestracja: 19 lis 2024, 10:22
Podziękowania: 14 razy
Płeć:

Re: Bryły wpisane i opisane 4

Post autor: Zuzanna2024 »

2. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny O o krawędzi podstawy długości Od tego ostrosłupa odcięto płaszczyzną równoległą do podstawy i przechodzącą przez środek wysokości ostrosłup ścięty T. W bryłę T wpisano dwa stożki: stożek S1 którego podstawa jest kołem wpisanym w większą podstawę bryły T, a wierzchołek jest środkiem symetrii mniejszej podstawy bryły T oraz stożek S2 którego podstawa jest kołem wpisanym w mniejszą podstawę bryły T a wierzchołek jest środkiem symetrii większej podstawy bryły T. Pole powierzchni bocznej stożka S1 jest równe 600π cm3. Oblicz pole powierzchni bocznej stożka S2
Tulio
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 335
Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
Podziękowania: 21 razy
Otrzymane podziękowania: 92 razy
Płeć:

Re: Bryły wpisane i opisane 4

Post autor: Tulio »

Zuzanna2024 pisze: 20 lis 2024, 14:21 2. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny O o krawędzi podstawy długości Od
Nadal. Nie wklejaj, przepisz i przyjrzyj się. Jaka jest ta długość podstawy?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3789
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 53 razy
Otrzymane podziękowania: 2050 razy

Re: Bryły wpisane i opisane 4

Post autor: Jerry »

Jeśli
Zuzanna2024 pisze: 19 lis 2024, 12:38 2. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny O o krawędzi podstawy długości \(a\), dobrze określonej. Od tego ostrosłupa odcięto płaszczyzną równoległą do podstawy i przechodzącą przez środek wysokości ostrosłup ścięty T. W bryłę T wpisano dwa stożki: stożek \(S_1\) którego podstawa jest kołem wpisanym w większą podstawę bryły T, a wierzchołek jest środkiem symetrii mniejszej podstawy bryły T oraz stożek \(S_2\) którego podstawa jest kołem wpisanym w mniejszą podstawę bryły T a wierzchołek jest środkiem symetrii większej podstawy bryły T. Pole powierzchni bocznej stożka \(S_1\) jest równe \(600 \pi\text{ cm}^3\). Oblicz pole powierzchni bocznej stożka \(S_2\)
to przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, z szybkim spostrzeżeniem zależności długości krawędzi podstaw ostrosłupa ściętego:
001 (3).jpg
    • \(R={a\over2}\)
    • \(l_1=\sqrt{R^2+h^2}\)
    • \(Pb_{S1}=600\pi\iff \pi\cdot{a\over2}\cdot\sqrt{\left({a\over2}\right)^2+h^2}=600\pi\So h^2=\dfrac{5760000-a^4}{4a^2}\)
    • \(r={a\over4}\)
    • \(l_2=\sqrt{r^2+h^2}=\ldots=\dfrac{\sqrt{23040000-3a^4}}{4a}\)
    • \(Pb_{S2}=\pi r l_2=\ldots=\dfrac{\pi\sqrt{23040000-3a^4}}{16}\)
Pozdrawiam
PS. Rachunki sprawdź, jeśli znajdziesz w notatkach wartość \(a\), będzie Ci łatwiej! Ufam, że Cię nie zawiedliśmy...
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.