Bryły wpisane i opisane 4

[Zuzanna2024]

Proszę o pomoc przy zadaniach:

1. Czworościan foremny o objętości \(48\text{ cm}^3\) wpisano w walec w taki sposób, że dwie skośne krawędzie tego czworościanu są średnicami podstaw walca. Oblicz objętość tego walca.

2. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny O o krawędzi podstawy długości Od tego ostrosłupa odcięto płaszczyzną równoległą do podstawy i przechodzącą przez środek wysokości ostrosłup ścięty T. W bryłę T wpisano dwa stożki: stożek \(S_1\) którego podstawa jest kołem wpisanym w większą podstawę bryły T, a wierzchołek jest środkiem symetrii mniejszej podstawy bryły T oraz stożek \(S_2\) którego podstawa jest kołem wpisanym w mniejszą podstawę bryły T a wierzchołek jest środkiem symetrii większej podstawy bryły T. Pole powierzchni bocznej stożka \(S_1\) jest równe \(600 \pi\text{ cm}^3\). Oblicz pole powierzchni bocznej stożka \(S_2\)

3. W sześcian S o objętości \(80 \text{ cm}^3\) wpisano stożek tak, że jego podstawa jest wpisana w ścianę sześcianu,
a wierzchołek należy do przeciwległej ściany sześcianu. W ten stożek wpisano sześcian T tak, że jedna z jego ścian jest zawarta w podstawie stożka, a pozostałe wierzchołki leżą na powierzchni bocznej stożka. Oblicz objętość sześcianu T

[Jerry]

1. Czworościan foremny o objętości \(48\text{ cm}^3\) wpisano w walec w taki sposób, że dwie skośne krawędzie tego czworościanu są średnicami podstaw walca. Oblicz objętość tego walca.

Zobrazujmy sytuację rysunkiem, z szybkimi wnioskami,:

Wtedy \(H=\frac{a\sqrt2}{2}\) i objętość walca jest równa \(V_W=\pi\cdot\left({a\over2}\right)^2\cdot{a\sqrt2\over2}\), gdzie \(a\) spełnia równanie
\[{a^3\sqrt2\over12}=48\]
wynikające z objętości czworościanu.

Pozdrawiam

[Jerry]

3. W sześcian S o objętości \(80 \text{ cm}^3\) wpisano stożek tak, że jego podstawa jest wpisana w ścianę sześcianu,
a wierzchołek należy do przeciwległej ściany sześcianu. W ten stożek wpisano sześcian T tak, że jedna z jego ścian jest zawarta w podstawie stożka, a pozostałe wierzchołki leżą na powierzchni bocznej stożka. Oblicz objętość sześcianu T

Wysokość stożka i średnica jego podstawy są równe \(a\) - długości krawędzi sześcianu \(S\), spełniającej równanie \(a^3=80\).
Zobrazujmy sytuację rysunkiem, z szybkimi wnioskami,:

Z podobieństwa \(\Delta CMC_1\sim\Delta QMS\ (k,k)\) mamy
\[\frac{{a\over2}-{x\sqrt2\over2}}{x}=\frac{{a\over2}}{a}\iff x=(\sqrt2-1)a\]
Skąd odpowiedź:
\[V_T=x^3=(\sqrt2-1)^3a^3=(\sqrt2-1)^3\cdot80\]
Pozdrawiam

[edited]

2. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny O o krawędzi podstawy długości Od ...

Czegoś chyba brakuje...

[Zuzanna2024]

2. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny O o krawędzi podstawy długości Od tego ostrosłupa odcięto płaszczyzną równoległą do podstawy i przechodzącą przez środek wysokości ostrosłup ścięty T. W bryłę T wpisano dwa stożki: stożek S1 którego podstawa jest kołem wpisanym w większą podstawę bryły T, a wierzchołek jest środkiem symetrii mniejszej podstawy bryły T oraz stożek S2 którego podstawa jest kołem wpisanym w mniejszą podstawę bryły T a wierzchołek jest środkiem symetrii większej podstawy bryły T. Pole powierzchni bocznej stożka S1 jest równe 600π cm3. Oblicz pole powierzchni bocznej stożka S2

[Tulio]

2. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny O o krawędzi podstawy długości Od

Nadal. Nie wklejaj, przepisz i przyjrzyj się. Jaka jest ta długość podstawy?

[Jerry]

Jeśli

2. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny O o krawędzi podstawy długości \(a\), dobrze określonej. Od tego ostrosłupa odcięto płaszczyzną równoległą do podstawy i przechodzącą przez środek wysokości ostrosłup ścięty T. W bryłę T wpisano dwa stożki: stożek \(S_1\) którego podstawa jest kołem wpisanym w większą podstawę bryły T, a wierzchołek jest środkiem symetrii mniejszej podstawy bryły T oraz stożek \(S_2\) którego podstawa jest kołem wpisanym w mniejszą podstawę bryły T a wierzchołek jest środkiem symetrii większej podstawy bryły T. Pole powierzchni bocznej stożka \(S_1\) jest równe \(600 \pi\text{ cm}^3\). Oblicz pole powierzchni bocznej stożka \(S_2\)

to przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, z szybkim spostrzeżeniem zależności długości krawędzi podstaw ostrosłupa ściętego:

1. • \(R={a\over2}\)
   • \(l_1=\sqrt{R^2+h^2}\)
   • \(Pb_{S1}=600\pi\iff \pi\cdot{a\over2}\cdot\sqrt{\left({a\over2}\right)^2+h^2}=600\pi\So h^2=\dfrac{5760000-a^4}{4a^2}\)
2. • \(r={a\over4}\)
   • \(l_2=\sqrt{r^2+h^2}=\ldots=\dfrac{\sqrt{23040000-3a^4}}{4a}\)
   • \(Pb_{S2}=\pi r l_2=\ldots=\dfrac{\pi\sqrt{23040000-3a^4}}{16}\)

Pozdrawiam
PS. Rachunki sprawdź, jeśli znajdziesz w notatkach wartość \(a\), będzie Ci łatwiej! Ufam, że Cię nie zawiedliśmy...