Funkcja

[Artegor]

Dana jest funkcja f(x)=\(\sqrt{(m-2)x^2+(m-2)x+1}\). Dla jakich wartości parametru m jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych?


Rozpocząc od założenia że pierwiastek ma być \(\ge\) 0? A co dalej

[Binio1]

1. \(\Delta \le 0\) zeby nie bylo miejsc zerowych lub co najwyzej jeden pierwiastek = 0
2. wspolczynnik kieronkowy \(a\) musi byc dodatni poniewaz pod pierwiastkiem nie moze byc liczb ujemnych

[Artegor]

Okej spróbuje zaraz

[Artegor]

A dla funkcji liniowej też sprawdzić?

[Galen]

\(\Delta=(m-2)^2-4(m-2)=m^2-4m+4-4m+8=m^2-8m+12\\m^2-8m+12\le 0\\\Delta_m=64-48=16=4^2\\m_1=2\\m_2=6\\m\in <2;6>\\i\;\;\;\;m-2\ge 0\;\;\;czyli\;\;\;m\ge 2\)
Odp/
\(m\in <2;6>\)

[latoludar]

A nie jest przypadkiem m należy do (2,6>?
Trzeba uwzględnić drugi warunek
(m-2)>0
m>2

[Jerry]

Sprawdź "ręcznie": \(m=2\) spełnia warunki zadania (forma liniowa).

Pozdrawiam

[janusz55]

\( y = \sqrt{(m-2) x^2 +(m-2)x +1} = \sqrt{t(x)}, \ \ t(x) = (m-2) x^2 +(m-2)x + 1. \)

Dziedziną funkcji \( f(x) \) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy trójmian \( t(x) \) przyjmuje wartości nieujemne lub \( m=2,\) gdy spełniona jest alternatywa warunków:

\( (\Delta \leq 0 \wedge m > 2) \vee (m=2). \)

Rozwiązanie powyżej:

\( m\in [ 2, \ \ 6].\)