Geometria sinusy cosinusy

[cucumberppp]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadań jak niżej

1. Wartość wyrażenia \(\sin133^\circ \sin 47^\circ -\cos133^\circ\sin 43^\circ\) jest równe ?

2. Kąta \(\alpha\) jest ostry oraz \(\dfrac{2\sin\alpha +4\cos\alpha }{\cos\alpha} =7\) Oblicz \(\tg\alpha\)

3. Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\sin\alpha ={3\over7}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\cos^2 \alpha (1-\tg^2 \alpha)\)

4. Wiedząc że \(\cos\alpha=-{2\over5}\) i \(\alpha\in(90^\circ, 180^\circ)\) oblicz pozostałe funkcje

5. Wiedzą że \(\sin\alpha + \cos\alpha ={\sqrt7 \over2}\) oblicz \((\sin\alpha -\cos\alpha)^2\)

6. Po uproszczeniu wyrażenie \(\sin\alpha -\sin\alpha \cos^2\alpha +2\) jest równe

7. Wiedząc że punkt \(P=(-1,4)\) leży na końcowym ramieniu kąta oblicz \(\sin\alpha \cdot \cos \alpha -\tg^2\alpha -2\)

[Jerry]

Doczekałaś się... jeszcze opanuj kod \(\LaTeX\) i będzie super!

1. Wartość wyrażenia \(\sin133^\circ \sin 47^\circ -\cos133^\circ\sin 43^\circ\) jest równe ?

Ponieważ \(\sin47^\circ=\cos43^\circ\), to
\(\sin133^\circ \sin 47^\circ -\cos133^\circ\sin 43^\circ=\sin133^\circ \cos43^\circ -\cos133^\circ\sin 43^\circ=\sin(133^\circ-43^\circ)=\sin90^\circ=1\)

Pozdrawiam

[Jerry]

2. Kąta \(\alpha\) jest ostry oraz \(\dfrac{2\sin\alpha +4\cos\alpha }{\cos\alpha} =7\) Oblicz \(\tg\alpha\)

\[\frac{2\sin\alpha +4\cos\alpha }{\cos\alpha} =7\\
2\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+4\cdot\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}=7\\
2\tg\alpha=3\\
\tg\alpha={3\over2}\]
Pozdrawiam

[Jerry]

3. Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\sin\alpha ={3\over7}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\cos^2 \alpha (1-\tg^2 \alpha)\)

Dla kąta ostrego \(\alpha\) mamy \[\cos\alpha=+\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{49}}=\frac{2\sqrt{10}}{7}\]
oraz \[\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3}{7}:\frac{2\sqrt{10}}{7}=\frac{3\sqrt{10}}{20}\]
Doliczenie wartości danego wyrażenia pozostawiam Tobie...

Pozdrawiam

[Jerry]

4. Wiedząc że \(\cos\alpha=-{2\over5}\) i \(\alpha\in(90^\circ, 180^\circ)\) oblicz pozostałe funkcje

Dla kąta rozwartego \(\alpha\) mamy
\[\sin\alpha=+\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{4}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5}\]
oraz \[\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{21}}{5}:\left(-\frac{2}{5}\right)=-\frac{\sqrt{21}}{2}\]
Pozdrawiam

[Jerry]

5. Wiedzą że \(\sin\alpha + \cos\alpha ={\sqrt7 \over2}\) oblicz \((\sin\alpha -\cos\alpha)^2\)

Ponieważ \[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\] to \[\sin\alpha + \cos\alpha ={\sqrt7 \over2}\qquad|^2\\ \sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=\frac{7}{4}\\2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{7}{4}-1=\frac{3}{4}\] i \[(\sin\alpha -\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\]
Pozdrawiam

[Jerry]

6. Po uproszczeniu wyrażenie \(\sin\alpha -\sin\alpha \cos^2\alpha +2\) jest równe

\[\sin\alpha -\sin\alpha \cos^2\alpha +2=\sin\alpha(1 -\cos^2\alpha)+2=\sin\alpha\cdot\sin^2\alpha+2=\sin^3\alpha +2\]
Pozdrawiam

[Jerry]

7. Wiedząc że punkt \(P=(-1,4)\) leży na końcowym ramieniu kąta oblicz \(\sin\alpha \cdot \cos \alpha -\tg^2\alpha -2\)

Dla \(\begin{cases}x_0=-1\\y_0=4\end{cases}\) mamy kolejno:

1. \(r=\sqrt{x_0^2+y_0^2}=\sqrt{17}\)
2. \(\sin\alpha=\dfrac{y_0}{r}=\dfrac{4}{\sqrt{17}}=\dfrac{4\sqrt{17}}{17}\)
3. \(\cos\alpha=\dfrac{x_0}{r}=\dfrac{-1}{\sqrt{17}}=-\dfrac{\sqrt{17}}{17}\)
4. \(\tg\alpha=\dfrac{y_0}{x_0}=\dfrac{4}{-1}=-4\)

Doliczenie wartości wyrażenia zostawiam Tobie...

Pozdrawiam