Pochodne kierunkowe

[Tchotchke]

Witam, mam dwa zadania z ktorymi nie moge sobie poradzic.Prosze o pomoc
zad.1
Dla pola okreslonego funkcja \(2x^2 y^2 + 3xyz^2\) obliczyc wartosc pochodnej kierunkowej w punkcie \(A(1,2,1)\) w kierunku okreslonym wersorem \(\frac{1}{2} i+3j- \frac{1}{3} k\)

zad.2
Dla pol skalarnych \(3(z+ \frac{z}{x^2+y^2})\) oraz \(x^2-xy+y^2\) wyznaczyc pochodna kierunkowa w punkcie \(A(-2,3,-1)\) dla kierunku o skladowych \(\frac{1}{2} ,0, - \frac{1}{2}
\)
Z gory dziekuje za pomoc

[janusz55]

Zadanie 1

\( f(x,y,z) = 2x^2 y^2 +3xyz^2 \ \ (1) \)

Funkcja pola skalarnego jest wielomianem trzech zmiennych, a więc jej pochodne cząstkowe istnieją w każdym punkcie \( \rr^3 \).

\( f'_{|x}(x,y,z) = 4xy^2 + 3yz^2|_{(1,2,1)} = 4\cdot 1\cdot 2^2+ 3\cdot 2\cdot 1^2= 16+ 6 = 22. \)

\( f_{|y}(x,y,z) = 4x^2y + 3xz^2|_{(1,2,1)} = 4\cdot 1^2\cdot 2 + 3\cdot 1\cdot1^2 = 11. \)

\( f_{|z}(x,y,z) = 6xyz |_{(1,2,1)} = 6\cdot 1\cdot 2\cdot 1 = 12. \)

Zgodnie z definicją pochodnej kierunkowej w kierunku wektora \( \vec{h} \) musimy znaleźć następujący iloczyn skalarny:

\( f'_{\vec{h}}(1,2,1) = f'(1,2,1)\cdot \vec{h} = [22, 11, 12] \cdot \left[ \frac{1}{2}, 3, -\frac{1}{3}\right] = \frac{22}{2} +11\cdot 3 -\frac{12}{3} = 40.\)

Wielkość ta jest użyteczna, ponieważ dostarcza nam informacji o nachyleniu wykresu funkcji \( f \) w punkcie \( (1,2,1)\), jeśli poruszamy się w kierunku wektora \( \vec{h}. \)

Zadanie 2 rozwiązujemy podobnie.

[kerajs]

Zgodnie z definicją pochodnej kierunkowej w kierunku wektora \( \vec{h} \) musimy znaleźć następujący iloczyn skalarny:

\( f'_{\vec{h}}(1,2,1) = f'(1,2,1)\cdot \vec{h} = [22, 11, 12] \cdot \left[ \frac{1}{2}, 3, -\frac{1}{3}\right] = \frac{22}{2} +11\cdot 3 -\frac{12}{3} = 40.\)

Moim zdaniem wektor kierunkowy w iloczynie skalarnym powinien być unormowany, gdyż wtedy jego współrzędne odpowiadają kosinusom kątów nachylenia wektora do osi układu.
Zauważ, że przykładowe wektory \(2 \vec{h} \) i \( 100 \vec{h} \) wskazują ten sam kierunek, więc pochodna kierunkowa dla nich powinna być taka sama, a w powyższym przykładzie taką nie będzie.

[janusz55]

Nie musi być unormowany.
Powołując się na definicję pochodnej kierunkowej w formie granicy, można wykazać, że te definicje są równoważne.