określ zbieżność szeregu
\(\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos {1\over n}}{2n+3}\)
określić zbieżność szeregu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Tulio
- Stały bywalec
- Posty: 336
- Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
- Podziękowania: 21 razy
- Otrzymane podziękowania: 92 razy
- Płeć:
Re: określić zbieżność szeregu
Od pewnego momentu (dajmy \(n>10\)) licznik jest większy od \(\frac{1}{2}\)
Stąd:
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos\left(\frac{1}{n}\right)}{2n+3}> \sum_{n=1}^{9}\frac{\cos\left(\frac{1}{n}\right)}{2n+3} + \sum_{n=10}^{\infty}\frac{\frac{1}{2}}{2n+3} = const + \infty = \infty\)
Stąd:
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos\left(\frac{1}{n}\right)}{2n+3}> \sum_{n=1}^{9}\frac{\cos\left(\frac{1}{n}\right)}{2n+3} + \sum_{n=10}^{\infty}\frac{\frac{1}{2}}{2n+3} = const + \infty = \infty\)
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 2038
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 489 razy
Re: określić zbieżność szeregu
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos\left(\frac{1}{n}\right)}{2n+3}.\)
Załóżmy, że szereg jest zbieżny.
Wówczas warunek konieczny zbieżności
\( \Lim_{n\to \infty} \frac{\cos\left(\frac{1}{n}\right)}{2n+3}=\Lim_{n\to \infty} \cos\left(\frac{1}{n}\right)\cdot \Lim_{n\to\infty} \frac{1}{2n+3} = 1\cdot 0 = 0 \) jest spełniony.
I sposób
Z wykresu widać, że dla każdego \( n\in \nn \) jest \( \frac{1}{2}< \cos\left(\frac{1}{n}\right).\)
Stąd \( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2n+3}< \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2n}< \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} < \frac{1}{n}\cos\left(\frac{1}{n}\right) \) dla każdego \( n\in \nn.\)
Ponadto szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n} \) jest rozbieżny, bo \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = \infty.\)
Z twierdzenia
Jeżeli \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = \infty \) i \( c \) jest dowolną liczbą dodatnią, to \( \sum_{n=1}^{\infty} c \cdot a_{n} = \infty.\)
i na podstawie kryterium porównawczego rozbieżności szeregów, szereg dany jest rozbieżny.
II sposób
Wiadomo, że
\( 0 < \sin\left(\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n} \) dla każdego \( n\in \nn.\)
Stąd
\( 0 < \sin\left(\frac{1}{n}\right)\cos\left(\frac{1}{n}\right)< \frac{1}{n}\cos\left(\frac{1}{n}\right) \) dla każdego \( n\in \nn.\)
Korzystając ze wzoru na \( \sin(2\alpha), \) otrzymujemy
\( 0 < \frac{1}{2}\sin\left(\frac{2}{n}\right)< \frac{1}{n}\cos\left(\frac{1}{n}\right) \) dla każdego \( n\in \nn. \ \ (*)\)
Wykażemy, że szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}\sin\left(\frac{2}{n}\right) \) jest rozbieżny.
Stąd i z \( (*) \) na podstawie kryterium porównawczego rozbieżności szeregów otrzymamy, że szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\cos(\left(\frac{1}{n}\right), \)
a więc i szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+3}\cos\left(\frac{1}{n}\right) \) jest rozbieżny.
Żeby wykazać rozbieżność szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}\sin\left(\frac{2}{n}\right) \), wystarczy wykazać rozbieżność szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty} \sin\left(\frac{2}{n}\right).\)
Mamy\( \Lim_{n\to \infty} \frac{\sin\left(\frac{2}{n}\right)}{\frac{2}{n}} = 1,\) więc
\( \left|\frac{\sin\left(\frac{2}{n}\right)}{\frac{2}{n}} -1 \right| < \frac{1}{2} \) dla każdego \( n> k, \) gdzie \( k \) jest odpowiednio dobraną liczbą naturallną.
Zatem \( 1 -\frac{1}{2} < \frac{\sin\left(\frac{2}{n}\right)}{\frac{2}{n}} < 1 + \frac{1}{2}\) dla każdego \( n> k.\)
Rozważając tylko nierówność pierwszą od lewej mamy \( 0 < \frac{1}{n}< \sin\left(\frac{2}{n}\right) \) dla każdego \( n > k.\)
Ponadto szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) jest rozbieżny, więc na podstawie kryterium orównawczego rozbieżności szeregów, szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \sin\left(\frac{2}{n}\right) \) jest rozbieżny.
Załóżmy, że szereg jest zbieżny.
Wówczas warunek konieczny zbieżności
\( \Lim_{n\to \infty} \frac{\cos\left(\frac{1}{n}\right)}{2n+3}=\Lim_{n\to \infty} \cos\left(\frac{1}{n}\right)\cdot \Lim_{n\to\infty} \frac{1}{2n+3} = 1\cdot 0 = 0 \) jest spełniony.
I sposób
Z wykresu widać, że dla każdego \( n\in \nn \) jest \( \frac{1}{2}< \cos\left(\frac{1}{n}\right).\)
Stąd \( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2n+3}< \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2n}< \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} < \frac{1}{n}\cos\left(\frac{1}{n}\right) \) dla każdego \( n\in \nn.\)
Ponadto szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n} \) jest rozbieżny, bo \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = \infty.\)
Z twierdzenia
Jeżeli \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = \infty \) i \( c \) jest dowolną liczbą dodatnią, to \( \sum_{n=1}^{\infty} c \cdot a_{n} = \infty.\)
i na podstawie kryterium porównawczego rozbieżności szeregów, szereg dany jest rozbieżny.
II sposób
Wiadomo, że
\( 0 < \sin\left(\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n} \) dla każdego \( n\in \nn.\)
Stąd
\( 0 < \sin\left(\frac{1}{n}\right)\cos\left(\frac{1}{n}\right)< \frac{1}{n}\cos\left(\frac{1}{n}\right) \) dla każdego \( n\in \nn.\)
Korzystając ze wzoru na \( \sin(2\alpha), \) otrzymujemy
\( 0 < \frac{1}{2}\sin\left(\frac{2}{n}\right)< \frac{1}{n}\cos\left(\frac{1}{n}\right) \) dla każdego \( n\in \nn. \ \ (*)\)
Wykażemy, że szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}\sin\left(\frac{2}{n}\right) \) jest rozbieżny.
Stąd i z \( (*) \) na podstawie kryterium porównawczego rozbieżności szeregów otrzymamy, że szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\cos(\left(\frac{1}{n}\right), \)
a więc i szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+3}\cos\left(\frac{1}{n}\right) \) jest rozbieżny.
Żeby wykazać rozbieżność szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}\sin\left(\frac{2}{n}\right) \), wystarczy wykazać rozbieżność szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty} \sin\left(\frac{2}{n}\right).\)
Mamy\( \Lim_{n\to \infty} \frac{\sin\left(\frac{2}{n}\right)}{\frac{2}{n}} = 1,\) więc
\( \left|\frac{\sin\left(\frac{2}{n}\right)}{\frac{2}{n}} -1 \right| < \frac{1}{2} \) dla każdego \( n> k, \) gdzie \( k \) jest odpowiednio dobraną liczbą naturallną.
Zatem \( 1 -\frac{1}{2} < \frac{\sin\left(\frac{2}{n}\right)}{\frac{2}{n}} < 1 + \frac{1}{2}\) dla każdego \( n> k.\)
Rozważając tylko nierówność pierwszą od lewej mamy \( 0 < \frac{1}{n}< \sin\left(\frac{2}{n}\right) \) dla każdego \( n > k.\)
Ponadto szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) jest rozbieżny, więc na podstawie kryterium orównawczego rozbieżności szeregów, szereg \( \sum_{n=1}^{\infty} \sin\left(\frac{2}{n}\right) \) jest rozbieżny.