Najwieksza i Najmniejsza wartość funckji

[PIOTR686]

zatrzymałem się w połowie zadania, na równaniu brzegu koła, ale i tak cos czuje ze pomyliłem się na początku. Proszę o pomoc


Obliczyć największa i najmniejsza wartość funkcji \(h(x,y) = (x-8)^2 + (y-6)^2\) na zbiorze \(x^2+y^2 \le 25\)

[kerajs]

Wystarczy znaleźć przecięcia prostej \(y= \frac{6}{8}x \) z okręgiem \(x^2+y^2=5^2\). W jednym z uzyskanych punktów będzie maksimum, a w drugim minimum.

[janusz55]

\( h(x,y) = (x-8)^2 + (y-6)^2, \ \ D: x^2 + y^2 \leq 25.\)

1.
\( (x_{0}, y_{0}) \in Int( x^2+y^2 \leq 25) \) (wnętrze dysku)

\(\begin{cases} h'_{|x}(x,y) = 2(x-8) = 0 \\ h'_{|y}(x,y) = 2(y-6) = 0. \end{cases}\)

\( (x_{0}, y_{0}) = (8, 6). \)

Punkt \( (8, 6) \) nie należy do wnętrza dysku \( D.\)

Funkcja \( h(x,y) \) nie ma ekstremum lokalnego w \( D.\)

2.
\( (x , y) \in \mathcal{Br}(x^2+y^2\leq 25) \) (brzeg dysku)

Badamy ekstremum globalne funkcji \( h(x,y) \) metodą mnożników Lagrange'a.

Funkcja Lagrange'a

\( L(x,y, \lambda) = (x-8)^2 +(y-6)^2 + \lambda(x^2 + y^2 -25) \)

Warunki konieczne istnienia ekstremum globalnego

\( L'_{|x}(x,y, \lambda) = 2(x-8)+ 2\lambda \cdot x = 0,\)

\( L'_{|y}(x,y , \lambda) = 2(y-6) + 2\lambda y= 0,\)

\( L'_{|\lambda}(x,y) = x^2 + y^2 -25 = 0. \)

Z pierwszych dwóch równań \( y = \frac{6}{8}x = \frac{3}{4}x \)

Podstawiając to równanie do równania trzeciego, otrzymujemy \( x_{1} = -4, \ \ x_{2} = 4.\)

Kładąc te wartości w równaniu trzecim, otrzymujemy parę punktów podejrzanych o ekstremum globalne

\( (x_{1}, (y{1}) = (-4, -3), \ ( 4, 3).\)

\( L^{''}_{|xx}(x,y, \lambda) = 2x + 2\lambda, \ \ L^{''}_{|xy}(x,y, \lambda) = 0 = L^{''}(x,y, \lambda) ,\ \ L^{''}_{|yy}(x,y, \lambda)= 2y +2\lambda.\)

Macierze drugiej różniczki w punkcie \( (-4,-3).\)

\( D^2(-4, -3, -3) =\left[ \begin{matrix} -11 & 0 \\ 0 & -9 \end{matrix}\right] \)

\( \det[-11] = -11<0, \ \ \det \begin{bmatrix} -11 & 0 \\ 0 & -9 \end{bmatrix} = 99>0.\)

W punkcie \( (-4, -3) \) macierz drugiej różniczki jest ujemnie określona - funkcja ma w tym punkcie maksimum globalne

\( h_{max} = h(-4,-3) = (-4 -8)^2 + (-3 - 6)^2 = 144 + 81 = 225.\)

Macierz drugiej różniczki w punkcie \( (4, 3)\)

\( D^2(4, 3, 1) = \left[\begin{matrix} 10 & 0 \\ 0 & 8 \end{matrix}\right] \)

\( \det[10] = 10< 0, \ \ \det \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} = 80 >0.\)

W punkcie \( (4, 3) \) macierz drugiej różniczki jest dodatnio określona - funkcja ma w tym punkcie minimum globalne

\( h_{min} = h(4,3)= (4 -8)^2 + (3 - 6)^2 = 16 + 9 = 25.\)