Korzystając z twierdzenia Cayleya-Hamiltona wyznacz liczby \(a,b,c\in\mathbb{R}\) takie, że \(A^{1000}=aA^2+bA+cI\), gdzie \(A=\begin{bmatrix}
2 & 2 & 3\\
1 & 3 & 3\\
-1 & 2 & 2
\end{bmatrix}.\)
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1874
- Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 458 razy
Re: Twierdzenie Cayleya-Hamiltona
1.
Znajdujemy wielomian charakterystyczny macierzy: \( p(\lambda) = \det( A -\lambda I).\)
2.
Obliczamy pierwiastki wielomianu charakterystycznego (wartości własne macierzy).
3.
Znajdujemy wektory własne macierzy i ustawiamy je w kolumny, tworząc macierz diagonalizującą \( P\) macuerzy \(A.\)
4.
Znajdujemy macierz odwrotną macierzy diagonalizującej \( P^{-1}.\)
5.
Znajdujemy setną potęgę macierzy \( A \) z równania:
\( A^{100} = P\cdot D^{100}\cdot P^{-1}, \ \ D - \) jest macierzą diagonalną, zawierającą setne potęgi wartości własnych macierzy \( A .\)
6.
Tworzymy trójmian macierzowy \( a\cdot A^2 + b\cdot A + c\cdot I. \)
7.
Obliczamy wartości współczynników \(a, b, c\) porównując elementy macierzy lewej i prawej strony.
Znajdujemy wielomian charakterystyczny macierzy: \( p(\lambda) = \det( A -\lambda I).\)
2.
Obliczamy pierwiastki wielomianu charakterystycznego (wartości własne macierzy).
3.
Znajdujemy wektory własne macierzy i ustawiamy je w kolumny, tworząc macierz diagonalizującą \( P\) macuerzy \(A.\)
4.
Znajdujemy macierz odwrotną macierzy diagonalizującej \( P^{-1}.\)
5.
Znajdujemy setną potęgę macierzy \( A \) z równania:
\( A^{100} = P\cdot D^{100}\cdot P^{-1}, \ \ D - \) jest macierzą diagonalną, zawierającą setne potęgi wartości własnych macierzy \( A .\)
6.
Tworzymy trójmian macierzowy \( a\cdot A^2 + b\cdot A + c\cdot I. \)
7.
Obliczamy wartości współczynników \(a, b, c\) porównując elementy macierzy lewej i prawej strony.