Wyznacz rozwiązania równania, trygonometria

[ceherr]

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania \(\sin2x=2\cos x\) spełniające warunek \(x^2−4x−32<0\)


Jak to rozwiązać i co będzie w klamrze z warunkami?

[kerajs]

1)
\(x^2-4x-32<0\\
(x-8)(x+4)<0\\
x \in (-4,8)\)
2)
\(\sin 2x=2\cos x \\
2\sin x \cos x=2\cos x \\
2\cos x (\sin x-1)=0\\
\cos x=0 \ \ \vee \ \ \sin x=1
\)

Pozostaje sprawdzić które rozwiązania równań: \(\cos x =0\) i \(\sin x=1\) należą do przedziału \((-4,8)\)

[Jerry]

Może rysunek pomoże...

Pozdrawiam

[janusz55]

\( [\sin(2x) = 2\cos(x) ]\wedge [x^2 -4x -32 <0] \)

\( [2\sin(x)\cos(x) = 2\cos(x)] \wedge [(x+4)(x-8) <0] \)

\( [2\sin(x)\cos(x) -2\cos(x) = 0] \wedge [(x+4)(x-8) <0] \)

\( [2\cos(x)(\sin(x) -1) = 0] \wedge [(x+4)(x-8) < 0 ]\)

\( [(\cos(x) = 0 \vee \sin(x) = 1] \wedge [x \in (-4, \ \ 8 )] \)

\( [x = \frac{\pi}{2} + k \pi \vee x = \frac{\pi}{2} + 2k \pi, \ \ k \in Z ] \wedge [ x \in (-4, \ \ 8 )] \)

\( x\in \left \{-\frac{\pi}{2}, \ \ \frac{\pi}{2}, \ \ \frac{3}{2}\pi, \ \ \frac{5}{2}\pi \right\}.\)