Pomoc matematyczna 2

[Ania04]

1). Wskaż zbiór wszystkich rozwiązań nieruchomości 3x (2) - 10x > 0
A. ( -~ ; -2) U ( 0 ;-~ )
B. (-2 ;0 )
C. (- ~ ;0) u (2 ; -~)
D. ( 0 ; ~)

2) ramię wodzące kąta a przechodzi przez punkt P ( -2 ,6). Wynika stąd ,że
A. Sin a =-3√10 / 10
B. Sin a=√10 / 10
C. Sin a = 3√10 / 10
D. Sin a= - √10. /10

3.). Dwa z boków trójkąta mają długości 1 i 6 ,a kąt między nimi zawarty ma miarę 150 stopni . Wówczas pole tego trójkąta jest równe
A. 15√2 / 4
B. 3√3
C. 15√3 /2
D. 3

4) odległość punktu A (2 ;4) od środka odcinka BC ,gdzie B ( ,0) , C (-9 ,-8) jest równa :
A. 3
B.5
C.10
D.12

5) odległość punktu P (3 ,-4) od prostej y= x-3 jest równa
A.7
B.5
C. √10
D. 2√2

6). Wskaż równanie okręgu o środku w punkcie S (-4 , 0) i promieniu r= 1/2
A. Z(2) + (y-4) (2) = 1/4
B. (X-4) (2) + y (2) =1/4
C. ( x +4)(2( + y (2) = 1/2
D. (x+4)(2) + y(2)= 1/4

7) współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty (0,5) i (2,0) jest równy
A. 2/3
B. 2/5
C. -2/5
D. -5/2

prosta zawierająca punkty P (2,-1) iQ (-2 ,1) jest równoległa do prostej
A. y = -1/1 x + √2
B. y= 1/2x +√3
C. y= 2x +2
D. -2x +√3
D. y = -2x +√5

8. ) napisz równanie okręgu o środku w punkcie S (-4,6) i przechodzącego przez punkt (-7,1)

[Jerry]

8. ) napisz równanie okręgu o środku w punkcie S (-4,6) i przechodzącego przez punkt (-7,1)

Wystarczy uporządkować:
\[(x-(-4))^2+(y-6)^2=(-7-(-4))^2+(1-6)^2\]
Pozdrawiam
PS. Pozostałe problemy są dla mnie nieczytelne - kod \(\LaTeX\) nie jest taki skomplikowany... zwłaszcza jak zajrzysz tu

[janusz55]

Zadanie 1
Proszę wskazać zbiór wszystkich rozwiązań nierówności:

\( 3x^2 -10 x >0 \)

\( x\cdot (3x-10) >0, \ \ 3x\left( x - \frac{10}{3}\right) >0 \)

Tabelka znaków nierówności: \( 3x\cdot \left(x -\frac{10}{3}\right)>0, \ \ 3x\left( x - \frac{10}{3}\right) <0 \)

\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
(-\infty, 0) & \{0\} & \left(0, \frac{1}{3}\right) & \{\frac{10}{3}\} & \left(\frac{10}{3}, + \infty \right) \\ \hline
+ & 0 & - & 0 & + \\ \hline
\end{array} \)

Z tabelki odczytujemy, że nierówność \( 3x\left( x - \frac{10}{3} \right) >0 \) dla \( x\in (-\infty,0) \cup \left(\frac{10}{3}, +\infty \right).\)

Zadanie 2
Ramię wodzące kąta \( \alpha \) przechodzi przez punkt \( P(-2, 6). \) Wynika stąd, że \( \sin(\alpha) = \ \ ... \)

\( \sin(\alpha) = \frac{y}{|r|} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}.\)

\( \sin(\alpha) = \frac{6}{\sqrt{(-2)^2 + 6^2}} = \frac{6}{\sqrt{4 + 36}} = \frac{6}{\sqrt{40}} = \frac{6}{\sqrt{4}\cdot \sqrt{10}} = \frac{6}{2\cdot \sqrt{10}}= \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}.\)

Zadanie 3
Dwa z boków trójkąta mają długość \( 1, 6 \), a kąt między nimi zawarty ma miarę \( 150^{o} \).
Wówczas pole trójkąta jest równe:

\( P_{\Delta} = \frac{1}{2}a\cdot b \cdot \sin(\angle(a,b)) .\)

\( P_{\Delta} = \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot 6 \cdot \sin(150^{o}) = \frac{6}{2}\cdot \sin(180^{o}- 30^{o}) = 3\cdot \sin(30^{o}) = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5.\)

Zadanie 4
Odległość punktu \( A(2,4) \) od środka odcinka \( \overline{BC} \), gdzie \( B(\textbf ? , 0), \ \ C = (-9,-8) \) jest równa:

Proszę podać pełne współrzędne punktu \( B.\)

Zadanie 5
Odległość punktu \( P(-3, 4) \) od prostej \( l: y = x- 3 \) jest równa:

\( d(P, l) = \frac{|A\cdot x_{P} + B\cdot y_{P} + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \)

\( (x_{P},\ \ y_{P}) = ( -3, \ \ 4),\)

\( l : y = x-3 \rightarrow 1\cdot x - 1\cdot y - 3 = 0, \ \ A =1, \ \ B = -1, \ \ C=-3. \)

\( d(P, l) = \frac{|1\cdot (-3) + (-1)\cdot 4 - 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{| -3 -4 -3|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|-10|}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}}= \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}.\)

Zadanie 6
Proszę wskazać równanie okręgu o środku w punkcie \( S(-4, 0) \) i promieniu \( r = \frac{1}{2}.\)

Równanie kanoniczne okręgu o środku \( S(a,b) \) i promieniu \( r: \)

\( ( x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)

\( a = -4, \ \ b = 0, \ \ r = \frac{1}{2}.\)

\( (x -(-4))^2 + (y-0)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)

\( (x+4)^2 + y^2 = \frac{1}{4}.\)

Zadanie 7
Współczynnik kierunkowy prostej \( m \) przechodzącej przez punkty \( A(0,5), B(2,0) \) jest równy:

\( m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} \)

\( m = \frac{0 - 5}{2 -0} = \frac{-5}{2} = -2,5.\)

Zadanie 8
Prosta zawierająca punkty \( P(2,-1)\) i \( Q(-2, 1) \) jest równoległa do prostej:

Współczynnik kierunkowy prostej zawierającej punkty \( P, \ \ Q: \)

\( m = \frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{Q} - x_{P}},\)

\( m = \frac{1- (-1)}{-2 -2} = \frac{1 + 1}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}.\)

Prosta zawierająca punkty \( P \) i \( Q \) jest równoległa do prostej o równaniu \( y = -\frac{1}{2}x + \sqrt{2}. \)

[Ania04]

Zad 4
B (1,0)

[janusz55]

Zadanie 4

Współrzędne środka odcinka \( \overline{BC} \)

\( (x_{S}, y_{S}) = \left(\frac{x_{B}+ x_{C}}{2}, \ \ \frac{y_{B} + y_{C}}{2} \right).\)

\( (x_{S}, y_{S}) = \left( \frac{1 + (-9)}{2}, \ \ \frac{0 + (-8)}{2} \right) = \left(\frac{1-9}{2}, \ \ \frac{-8}{2}\right) = \left( \frac{-8}{2}, \ \ \frac{-8}{2}\right) = (-4, \ \ -4).\)

Odległość punktu \( A(2,4) \) od środma odcinka \( \overline{BC} \) jest równa:

\( d( A, \overline{BC}) = \sqrt{ (x_{A} - x_{S})^2 + (y_{A} -y_{S})^2} \)

\( d(A, \overline{AB}) = \sqrt{2 -(-4))^2 + (4- (-4))^2} = \sqrt{(2 + 4)^2 + (4 + 4)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.\)