Ostrosłup

[MagiciaN]

Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne CA i CB mają długość równą odpowiednio 6 i 4. Krawędź SC ma długość 13, odcinek SH jest wysokością ściany BCS, a odcinek SO jest wysokością ostrosłupa ABCS, gdzie O jest środkiem okręgu opisanego na podstawie. Wysokość SH jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostro- słupa pod kątem alfa. Ile wynosi tangens alfa?

[Jerry]

Zilustrujmy problem rysunkiem, z szybkimi wnioskami dotyczącymi położenia punktów:

Ostrosłup.png

1. Z \(\Delta ABC\) i tw. Pitagorasa: \(|AB|=2\sqrt{13}\So |OB|=|OC|=\sqrt{13}\)
2. \(\Delta OCS\) i tw. Pitagorasa: \(|OS|=2\sqrt{39}\)
3. Ponieważ \(\overline{OH}\) jest wysokością równoramiennego \(\Delta BCO\), to \(|OH|=\sqrt{\sqrt{13}^2-({1\over2}\cdot4)^2}=3\).
   Zamiennie - z podobieństwa \(\Delta OBH\sim\Delta ABS:\ |OH|={1\over2}\cdot|AC|\)...
4. Z prostokątnego \(\Delta OHS\): \(\tg\alpha=\dfrac{2\sqrt{39}}{3}\).

Pozdrawiam