Równanie
\( \sin(z) + \cos(z) = \frac{3}{2}, \) gdy \( z\in\cc \) - ma rozwiązania.
Przekształcamy sumę \( \sin(z) +\cos(z) \) jak dla \( x \in \rr \) (wzór prawdziwy również dla liczb zespolonych).
\(\sin(z)+ \cos(z) = \sin(z) + \sin\left( \frac{\pi}{2} - z \right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(z -\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cos\left(z -\frac{\pi}{4}\right)\)
Korzystamy z tożsamości trygonometrycznej w dziedzinie zespolonej:
\( \cos(z) = \cosh(iz), \ \ z \in \zz. \)
Mamy
\(\sqrt{2}\cos\left(z -\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cos(i\theta) = \frac{3}{2} \ \ (*) \)
gdzie:
\( \theta = z - \frac{\pi}{4}.\)
Z \( (*) \) mamy \( \theta = \pm \cosh^{-1}\left( \frac{3\sqrt{2}}{4}\right) \)
czyli
\( z = \frac{\pi}{4} \pm \cosh^{-1}\left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right) + 2\pi n = \frac{\pi}{4} \pm area\cosh\left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right) + 2\pi n,\ \ n\in \zz.\)
Rozwiązanie równania trygonometrycznego w płaszczyźnie zespolonej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1999
- Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 481 razy
Re: Rozwiązanie równania trygonometrycznego w płaszczyźnie zespolonej
Postaci rozwiązań zespolonych tego równania jest multum. Nie posiłkuję się Wolframem.