kąt w trójkącie

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
inter
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 177
Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
Podziękowania: 15 razy
Otrzymane podziękowania: 5 razy

kąt w trójkącie

Post autor: inter »

Środkowa AD trójkąta ABC przecina okrąg wpisany (o środku O) w punktach X i Y. Wyznacz kąt XOY, jeśli AC = AB + AD.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3599
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 52 razy
Otrzymane podziękowania: 1975 razy

Re: kąt w trójkącie

Post autor: Jerry »

Z dokładnością do podobieństwa, dla uproszenia zapisu,:
Niech \(|AB|=1,\ |AC|=k\in(1; 3)\) (wniosek z istnienia pierwiastków w poniższych rachunkach). Wtedy, w skrócie,:
  1. \(|AD|=k-1\),
  2. przyjmijmy oznaczenia:
    Geogebra online (4).png
  3. z \(\Delta ADC,\ \Delta ABD\) i tw. Carnota: \(\begin{cases}|AC|^2=\ldots\\|AB|^2=\ldots\end{cases}\So|CD|=|BD|=\sqrt{{-k^2+4k-1\over2}}\)
  4. z \(\Delta ABD\) i tw. Carnota: \(\cos\beta={3k-5\over4}\)

  5. z "jedynki": \(\sin\beta={\sqrt{3(-3k^2+10k-3)}\over4}\)
  6. z \(\Delta ABC\) i tw. Carnota: \(\cos2\gamma={3k^2-8k+3\over2k}\)
  7. z "jedynki": \(\sin2\gamma=\frac{(k-1)\sqrt{3(-3k^2+10k-3)}}{2k}\)
  8. z cosinusa kąta podwojonego:
    • \(\cos\gamma=\frac{\sqrt3(k-1)}{2\sqrt k}\)
    • \(\sin\gamma=\frac{\sqrt{-3k^2+10k-3}}{2\sqrt k}\)
  9. z pola \(\Delta ABC\):
    \({1\over2}\cdot1\cdot k\cdot\sin2\gamma={1\over2}\cdot\left(1+k+2\sqrt{{-k^2+4k-1\over2}}\right)\cdot r\So r=\frac{(k+1)\sqrt{-3k^2+10k-3}(k+1-\sqrt{-2k^2+8k-2})}{2(k-1)}\)
  10. z \(\Delta ANO\): \(|AO|={r\over\sin\gamma}=\frac{(k+1)\sqrt k(k+1-\sqrt{-2k^2+8k-2})}{k-1}\)
  11. \(\sin\delta=\sin(\beta-\gamma)=\frac{\sqrt{-3k^2+10k-3}}{4\sqrt k}\)
  12. z \(\Delta AOM\): \(|MO|=|AO|\cdot\sin\delta=\frac{(k+1)\sqrt{-3k^2+10k-3}(k+1-\sqrt{-2k^2+8k-2})}{4(k-1)}\)
  13. z \(\Delta MOY\): \(\cos{\alpha\over2}={|MO|\over r}={1\over2}\So \alpha=120^\circ\)
Pozdrawiam
PS. Duże zagrożenie wystąpienia "bad-klick" :?, rachunki "po drodze" - policz samodzielnie
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
anilewe_MM
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 142
Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
Podziękowania: 603 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: kąt w trójkącie

Post autor: anilewe_MM »

To moje ostatnie lajki na forum, ale musiałam!
@Jerry jesteś wielki!
Maciek32
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 99
Rejestracja: 14 mar 2023, 18:08
Podziękowania: 46 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: kąt w trójkącie

Post autor: Maciek32 »

A dlaczego \(AD=k-1\)?
I ktory kąt jest równy \(2 \gamma \)?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3599
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 52 razy
Otrzymane podziękowania: 1975 razy

Re: kąt w trójkącie

Post autor: Jerry »

Maciek32 pisze: 11 lip 2024, 08:11 A dlaczego \(AD=k-1\)?
Z przyjętych oznaczeń i treści zadania
Maciek32 pisze: 11 lip 2024, 08:11 ...I ktory kąt jest równy \(2 \gamma \)?
\(2\gamma=|\angle BAC|\), bo \(O\) należy do dwusiecznej tego kąta.

Pozdrawiam