Wyznacz równanie prostej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Wyznacz równanie prostej
Prosta przechodzącą przez punkt A(1,4) odcina na dodatnich półosiach odcinki, których suma długości jest najmniejsza. Wyznacz równanie tej prostej.
-
- Stały bywalec
- Posty: 402
- Rejestracja: 31 maja 2019, 19:32
- Podziękowania: 346 razy
- Otrzymane podziękowania: 96 razy
Re: Wyznacz równanie prostej
https://matematykaszkolna.pl/forum/419976.html
Spoiler
y= -2x + 6 lub y = 2x +2 i to drugie równanie jest odpowiedzią
-
- Fachowiec
- Posty: 1819
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 453 razy
Re: Wyznacz równanie prostej
Równanie odcinkowe prostej:
\( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1. \)
Założenie: \( a, b >0. \)
Prosta przechodzi przez punkt \( (x,y) = (1, 4). \)
Stąd
\( \frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1 \)
\( \frac{4}{b} = 1 -\frac{1}{a} = \frac{a-1}{a} \)
\( b = \frac{4a}{a-1}\)
Suma odcinków, na które prosta odcinka dodatnie osie kartezjańskiego ukłdu współrzędnych:
\( S(a) = a + \frac{4a}{a-1} = \frac{a^2 -a +4a}{a-1} =\frac{a^2 +3a}{a-1}, \ \ 0 <a\neq 1.\)
Znajdujemy maksimum funkcji \( S(a). \)
\( S'(a) = \frac{(2a+3)\cdot(a-1) - (a^2+3a)\cdot 1}{(a-1)^2} = \frac{2a^2 -2a +3a -3 -a^2-3a}{(a-1)^2} = \frac{a^2-2a -3}{(a-1)^2}.\)
\( S'(a) = 0 \leftrightarrow (a^2 -2a -3 = 0 \leftrightarrow [(a^2 -2a +1)-4= 0] \leftrightarrow [(a-1)^2 - 2^2 =0] \leftrightarrow [(a-1-2)(a-1+2)=0] \leftrightarrow [(a-3)(a+1) = 0 ] \leftrightarrow \)
\( \leftrightarrow [ a_{1} = 3 \vee a_{2} = -1< 0]. \)
\( b_{1} = \frac{4\cdot 3}{(3-1)} = \frac{12}{2} = 6.\)
Równanie odcinkowe prostej: \( \frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 1. \)
Równanie ogólne prostej: \( 2x +y - 6 = 0. \)
\( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1. \)
Założenie: \( a, b >0. \)
Prosta przechodzi przez punkt \( (x,y) = (1, 4). \)
Stąd
\( \frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1 \)
\( \frac{4}{b} = 1 -\frac{1}{a} = \frac{a-1}{a} \)
\( b = \frac{4a}{a-1}\)
Suma odcinków, na które prosta odcinka dodatnie osie kartezjańskiego ukłdu współrzędnych:
\( S(a) = a + \frac{4a}{a-1} = \frac{a^2 -a +4a}{a-1} =\frac{a^2 +3a}{a-1}, \ \ 0 <a\neq 1.\)
Znajdujemy maksimum funkcji \( S(a). \)
\( S'(a) = \frac{(2a+3)\cdot(a-1) - (a^2+3a)\cdot 1}{(a-1)^2} = \frac{2a^2 -2a +3a -3 -a^2-3a}{(a-1)^2} = \frac{a^2-2a -3}{(a-1)^2}.\)
\( S'(a) = 0 \leftrightarrow (a^2 -2a -3 = 0 \leftrightarrow [(a^2 -2a +1)-4= 0] \leftrightarrow [(a-1)^2 - 2^2 =0] \leftrightarrow [(a-1-2)(a-1+2)=0] \leftrightarrow [(a-3)(a+1) = 0 ] \leftrightarrow \)
\( \leftrightarrow [ a_{1} = 3 \vee a_{2} = -1< 0]. \)
\( b_{1} = \frac{4\cdot 3}{(3-1)} = \frac{12}{2} = 6.\)
Równanie odcinkowe prostej: \( \frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 1. \)
Równanie ogólne prostej: \( 2x +y - 6 = 0. \)
-
- Fachowiec
- Posty: 1819
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 453 razy
Re: Wyznacz równanie prostej
Do dokładności tego rozwiązania brakuje sprawdzenia, czy funkcja sumy odcinków \( S(a) \) ma w punkcie \( (0, 3)\setminus \{1\} \) minimum lokalne.
Zauważamy, że znak pochodnej tej funkcji zależy od znaku trójmianu kwadratowego \( f(a) = a^2 - 2a -3 = (a-3)(a+1) \) w przedziale \( (0, \infty)\setminus \{1\}. \)
Trójmian \( f(a) \) w przedziale (\( (0, \ \ 3) \setminus \{1\} \) ma wartość ujemną, zaś w przedziale \( (3, \ \ \infty) \) jest dodatni.
Stąd nasza funkcja \( S(a) \searrow \) dla \( a \in ( 0, 3) \setminus \{1\} \) i \( S(a) \nearrow \) dla \( a\in (3, \ \ \infty), \) czyli w punkcie \( (3, \ \ 0) \) ma minimum lokalne. To kończy sprawdzenie.
Zauważamy, że znak pochodnej tej funkcji zależy od znaku trójmianu kwadratowego \( f(a) = a^2 - 2a -3 = (a-3)(a+1) \) w przedziale \( (0, \infty)\setminus \{1\}. \)
Trójmian \( f(a) \) w przedziale (\( (0, \ \ 3) \setminus \{1\} \) ma wartość ujemną, zaś w przedziale \( (3, \ \ \infty) \) jest dodatni.
Stąd nasza funkcja \( S(a) \searrow \) dla \( a \in ( 0, 3) \setminus \{1\} \) i \( S(a) \nearrow \) dla \( a\in (3, \ \ \infty), \) czyli w punkcie \( (3, \ \ 0) \) ma minimum lokalne. To kończy sprawdzenie.
-
- Stały bywalec
- Posty: 402
- Rejestracja: 31 maja 2019, 19:32
- Podziękowania: 346 razy
- Otrzymane podziękowania: 96 razy
Re: Wyznacz równanie prostej
Zastanawiam sie co uczen szkoły średniej zrozumie z ostatniego postu?![🤔](//cdn.jsdelivr.net/gh/twitter/twemoji@latest/assets/svg/1f914.svg)
Usciślijmy, są dwa rozwiązania a =-2 lub a=2 podane w spoilerze ale zgodnie z warunkami zadania, to mają być wyłącznie dodatnie współrzędne czyli zostawiamy pierwsze rozwiazanie, drugie zupełnie niepotrzebnie mi dopisało już po edycji w drodze nad morze.
Usciślijmy, są dwa rozwiązania a =-2 lub a=2 podane w spoilerze ale zgodnie z warunkami zadania, to mają być wyłącznie dodatnie współrzędne czyli zostawiamy pierwsze rozwiazanie, drugie zupełnie niepotrzebnie mi dopisało już po edycji w drodze nad morze.
![Cool 8)](./images/smilies/icon_cool.gif)
Spoiler
Suma tych wspołrzędnych w drugim przypadku jest akurat najmniejsza