Wyznacz równanie prostej

[bidge]

Prosta przechodzącą przez punkt A(1,4) odcina na dodatnich półosiach odcinki, których suma długości jest najmniejsza. Wyznacz równanie tej prostej.

[maria19]

https://matematykaszkolna.pl/forum/419976.html

Spoiler

y= -2x + 6 lub y = 2x +2 i to drugie równanie jest odpowiedzią

[janusz55]

Równanie odcinkowe prostej:

\( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1. \)

Założenie: \( a, b >0. \)

Prosta przechodzi przez punkt \( (x,y) = (1, 4). \)

Stąd

\( \frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1 \)

\( \frac{4}{b} = 1 -\frac{1}{a} = \frac{a-1}{a} \)

\( b = \frac{4a}{a-1}\)

Suma odcinków, na które prosta odcinka dodatnie osie kartezjańskiego ukłdu współrzędnych:

\( S(a) = a + \frac{4a}{a-1} = \frac{a^2 -a +4a}{a-1} =\frac{a^2 +3a}{a-1}, \ \ 0 <a\neq 1.\)

Znajdujemy maksimum funkcji \( S(a). \)

\( S'(a) = \frac{(2a+3)\cdot(a-1) - (a^2+3a)\cdot 1}{(a-1)^2} = \frac{2a^2 -2a +3a -3 -a^2-3a}{(a-1)^2} = \frac{a^2-2a -3}{(a-1)^2}.\)

\( S'(a) = 0 \leftrightarrow (a^2 -2a -3 = 0 \leftrightarrow [(a^2 -2a +1)-4= 0] \leftrightarrow [(a-1)^2 - 2^2 =0] \leftrightarrow [(a-1-2)(a-1+2)=0] \leftrightarrow [(a-3)(a+1) = 0 ] \leftrightarrow \)

\( \leftrightarrow [ a_{1} = 3 \vee a_{2} = -1< 0]. \)

\( b_{1} = \frac{4\cdot 3}{(3-1)} = \frac{12}{2} = 6.\)

Równanie odcinkowe prostej: \( \frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 1. \)

Równanie ogólne prostej: \( 2x +y - 6 = 0. \)

[janusz55]

Do dokładności tego rozwiązania brakuje sprawdzenia, czy funkcja sumy odcinków \( S(a) \) ma w punkcie \( (0, 3)\setminus \{1\} \) minimum lokalne.

Zauważamy, że znak pochodnej tej funkcji zależy od znaku trójmianu kwadratowego \( f(a) = a^2 - 2a -3 = (a-3)(a+1) \) w przedziale \( (0, \infty)\setminus \{1\}. \)

Trójmian \( f(a) \) w przedziale (\( (0, \ \ 3) \setminus \{1\} \) ma wartość ujemną, zaś w przedziale \( (3, \ \ \infty) \) jest dodatni.

Stąd nasza funkcja \( S(a) \searrow \) dla \( a \in ( 0, 3) \setminus \{1\} \) i \( S(a) \nearrow \) dla \( a\in (3, \ \ \infty), \) czyli w punkcie \( (3, \ \ 0) \) ma minimum lokalne. To kończy sprawdzenie.

[maria19]

Zastanawiam sie co uczen szkoły średniej zrozumie z ostatniego postu?
Usciślijmy, są dwa rozwiązania a =-2 lub a=2 podane w spoilerze ale zgodnie z warunkami zadania, to mają być wyłącznie dodatnie współrzędne czyli zostawiamy pierwsze rozwiazanie, drugie zupełnie niepotrzebnie mi dopisało już po edycji w drodze nad morze.

Spoiler

Suma tych wspołrzędnych w drugim przypadku jest akurat najmniejsza