Wartość współczynnika k.

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Maciek32
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 99
Rejestracja: 14 mar 2023, 18:08
Podziękowania: 46 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Wartość współczynnika k.

Post autor: Maciek32 »

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny o podstawie \(ABCDEF\) i polu powierzchni bocznej równym \(P\) . Kąt między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z wierzchołka A ma miarę \(2\alpha\) . Objętość tego graniastosłupa jest równa:

\[k\cdot \sqrt[4]{\frac{P^6\sin^2\alpha}{3-4\sin^2\alpha}}, \]
gdzie \(k\) jest stałym współczynnikiem liczbowym. Oblicz współczynnik \(k\) .
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1745
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 445 razy

Re: Wartość współczynnika k.

Post autor: janusz55 »

Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3599
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 52 razy
Otrzymane podziękowania: 1975 razy

Re: Wartość współczynnika k.

Post autor: Jerry »

Zaproponuję rozwiązanie-wytrych, nota bene zniechęca ono ekspertów CKE do tego typu zadań :lol:

Ponieważ dany wzór jest ogólny, to zachodzi również dla długości \(a=2\) krawędzi podstawy i \(\alpha=45^\circ\) :!:
  1. Zrób schludny rysunek graniastosłupa \(ABCDEFA'B'C'D'E'F'\)
  2. Z \(\Delta ABC\) mamy: \(|AC|=2\sqrt3\)
  3. Z \(\Delta ACB'\) równoramiennego prostokątnego: \(|AB'|=|B'C|=\sqrt6\)
  4. Z \(\Delta ABB'\) i tw. Pitagorasa: \(|BB'|=\sqrt2=H\)
  5. \(\begin{cases}P=6\cdot2\cdot\sqrt2=12\sqrt2\\V=6\cdot\frac{2^2\sqrt3}{4}\cdot\sqrt2=6\sqrt6\end{cases}\)
  6. Z danego wzoru: \(V=k\cdot\sqrt[4]\frac{(12\sqrt2)^6\cdot\left({\sqrt2\over2}\right)^2}{3-4\cdot\left({\sqrt2\over2}\right)^2}=\ldots=k\cdot24\sqrt6\)
  7. Z 6. i 5. mamy: \(k\cdot24\sqrt6=6\sqrt6\iff k={1\over4}\)
Pozdrawiam
Uwaga: Przyjmowane dane muszą być realne :!:
Maciek32
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 99
Rejestracja: 14 mar 2023, 18:08
Podziękowania: 46 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Wartość współczynnika k.

Post autor: Maciek32 »

Jerry pisze: 16 cze 2024, 22:36 Zaproponuję rozwiązanie-wytrych, nota bene zniechęca ono ekspertów CKE do tego typu zadań :lol:

Dlaczego znięchęca?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3599
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 52 razy
Otrzymane podziękowania: 1975 razy

Re: Wartość współczynnika k.

Post autor: Jerry »

Rozwiązanie zadania
Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny o podstawie \(ABCDEF\) i polu powierzchni bocznej równym \(P\) . Kąt między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z wierzchołka A ma miarę \(2\alpha\) . Oblicz objętość tego graniastosłupa.
może prowadzić do różnych postaci trygonometrycznych w odpowiedzi. Aby ułatwić pracę egzaminatorom wymyślili treść cytowaną przez Ciebie i liczyli, że zdający będzie prowadził rachunek algebraiczny - jak pod linkiem podanym przez janusz55 ...
Zgodzisz się ze mną, że rachunek arytmetyczny jest przyjaźniejszy i prowadzi do wskazania oczekiwanej odpowiedzi, ale wtedy punktacja za zadanie jest przeszacowana, czego nie przewidzieli eksperci. A wystarczyłoby:
... Wykaż, że \[V={1\over4}\cdot \sqrt[4]{\frac{P^6\sin^2\alpha}{3-4\sin^2\alpha}}, \]
Pozdrawiam
PS. W moim rozwiązaniu przekątne poprowadziłem z wierzchołka \(B\) (zauważyłem jak cytowałem :?), ale to nie umniejsza poprawności rozwiązania zadania