Niech a,b,c będą takimi liczbami całkowitymi, że

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Maciek32
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 99
Rejestracja: 14 mar 2023, 18:08
Podziękowania: 46 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Niech a,b,c będą takimi liczbami całkowitymi, że

Post autor: Maciek32 »

Niech \(a,b,c\) będą takimi liczbami całkowitymi, że \(a \sqrt{2}+b \sqrt{3} +c \sqrt{6}=0 \). Wykaż, że \(a=b=c=0\).
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1745
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 445 razy

Re: Niech a,b,c będą takimi liczbami całkowitymi, że

Post autor: janusz55 »

zadanie7.png
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1745
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 445 razy

Re: Niech a,b,c będą takimi liczbami całkowitymi, że

Post autor: janusz55 »

Metoda rozwiązania zadania polega na wyznaczeniu jednego z pierwiastków \( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6} \) w zależności od pozostałych, uwzględnieniu założeń i wykazaniu przez podstawiania \( a = b = c = 0, \), że otrzymane w ten sposób wyrażenia nie mogą być wymierne.
Maciek32
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 99
Rejestracja: 14 mar 2023, 18:08
Podziękowania: 46 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Niech a,b,c będą takimi liczbami całkowitymi, że

Post autor: Maciek32 »

Ten sposób mi nie odpowiada! Za dużo pisania.
Ps. Jerry jak zwykle coś wymyśli :D
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1745
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 445 razy

Re: Niech a,b,c będą takimi liczbami całkowitymi, że

Post autor: janusz55 »

Za dużo pisania ? Śmiechu warte. Można jeszcze zastosować metodę nie wprost. Może wtedy będzie trochę mniej pisania ? Nie sądzę.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3599
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 52 razy
Otrzymane podziękowania: 1975 razy

Re: Niech a,b,c będą takimi liczbami całkowitymi, że

Post autor: Jerry »

Zadanie intuicyjnie jest oczywiste... Intuicyjnie! Formalnie - niekoniecznie! janusz55 podał (nie do końca w zgodzie z regulaminem Forum) nie tylko autorskie rozwiązanie ale i klucz jego oceniania - obowiązujący egzaminatora. Zatem... nie bardzo masz wybór!
Co najwyżej można lematycznie wykazać własności ciał \(\qq(\sqrt m)\), gdzie \(m\in\zz_+\setminus\{1\}\), ale to nie ułatwia i nie skraca rozwiązania.

Pozdrawiam
Maciek32
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 99
Rejestracja: 14 mar 2023, 18:08
Podziękowania: 46 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Niech a,b,c będą takimi liczbami całkowitymi, że

Post autor: Maciek32 »

Jerry pisze: 18 lut 2024, 21:17
Co najwyżej można lematycznie wykazać własności ciał \(\qq(\sqrt m)\), gdzie \(m\in\zz_+\setminus\{1\}\), ale to nie ułatwia i nie skraca rozwiązania.

O co z tym chodzi?
Tulio
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 257
Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
Podziękowania: 20 razy
Otrzymane podziękowania: 66 razy
Płeć:

Re: Niech a,b,c będą takimi liczbami całkowitymi, że

Post autor: Tulio »

Maciek32 pisze: 16 cze 2024, 18:08
O co z tym chodzi?
Że można udowodnić ogólną własność, że dla \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n \in \qq\) oraz \(m_1, m_2, m_3, \ldots m_n \in \zz_+ \bez \left\{ 1 \right\} \)
zachodzi:
\(a_1 \sqrt{m_1} + a_2 \sqrt{m_2} + \ldots + a_n \sqrt{m_n}= 0 \So a_1 = a_2 = \ldots = a_n = 0\)
(dla \(n \in \nn\) i różnych parami \(m_1, m_2, \ldots, m_n\))
i wtedy tylko z niej skorzystać.

Niemniej jest to trudne (trudniejsze niż to zadanie samo w sobie), ale jak już masz udowodnioną ogólną własność, to wtedy tylko z niej korzystasz.