Obwody dowód

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Maciek32
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 99
Rejestracja: 14 mar 2023, 18:08
Podziękowania: 46 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Obwody dowód

Post autor: Maciek32 »

Obwody wielokątów foremnych wpisanych w okrąg o promieniu \(1\) czworokąta, ośmiokąta,
szesnastokąta,trzydziestodwukąta,... są odpowiednio równe: \(4 \sqrt{2} \), \(8 \sqrt{2- \sqrt{2 } } \), \(16 \sqrt{2- \sqrt{2+ \sqrt{2} } } \), \(32 \sqrt{2- \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2 }}}} \)
Ile wynosi granica tego ciągu?
Iloraz jest równy \(q= \sqrt{2(2- \sqrt{2} }) \) jest większy od 1 to z sumą to tak cienko. Więc nie wiem jak to rozumieć. Czy można to robić właśnie tym sposobem żeby obliczyć jego nieskończoną sumę bo to chyba w rzeczywistosci to samo co jego granica, jeśli nie to proszę niech mnie ktoś poprawi. Czy trzeba tutaj jakoś uzależniać te boki od siebie i zwinąć to w jakiś wzór no bo jeśli mamy czworokąt, ośmiokąt to te boki są opisane jako \(2^n , n \ge 2\). Wiadome że obwód jest równy \(2\pi\).
Icanseepeace
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 438
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 253 razy
Płeć:

Re: Obwody dowód

Post autor: Icanseepeace »

To nie jest ciąg geometryczny, więc nie możesz liczyć jego ilorazu
Ciąg jest aproxymacją obwodu koła.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3599
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 52 razy
Otrzymane podziękowania: 1975 razy

Re: Obwody dowód

Post autor: Jerry »

\(n\)-kąt foremny, gdzie \(n\in\nn\setminus\{0,1,2\}\), wpisany w okrąg o promieniu \(R>0\) i boku \(a>0\) można podzielić na \(n\) trójkątów równoramiennych o ramieniu \(R\) i kącie przy wierzchołku \({2\pi\over n}\). Każdy z tych trójkątów podzielmy wysokością na dwa przystające trójkąty prostokątne w których:
\[\frac{{a\over2}}{R}=\sin{\pi\over n}\]
Zatem obwód wielokąta określa wzór, z którego wynika granica:
\[L(n)=n\cdot2R\sin{\pi\over n}=2\pi R\cdot\frac{\sin{\pi\over n}}{{\pi\over n}}\nad{n\to\infty}{\longrightarrow}2\pi R\cdot1\]
Pozdrawiam
PS. Korzystam z
\[\Lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\]
Maciek32
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 99
Rejestracja: 14 mar 2023, 18:08
Podziękowania: 46 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Obwody dowód

Post autor: Maciek32 »

Ale faktem jest że w tym przypadku można podzielić wielokąty na trójkąty równoramienne. W przypadku np. sześciokąta foremnego nie da się tego zrobić. Nie zmienia długości boku oczywiście.

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3599
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 52 razy
Otrzymane podziękowania: 1975 razy

Re: Obwody dowód

Post autor: Jerry »

Maciek32 pisze: 16 cze 2024, 00:30 ... W przypadku np. sześciokąta foremnego ...
Trójkąt równoboczny jest szczególnym przypadkiem trójkąta równoramiennego.

Pozdrawiam