Dowód

[Maciek32]

W trójkąt prostokątny równoramienny o prze- ciwprostokątnej a wpisujemy prostokąt jak na rysunku obok. Trzy mniejsze trójkąty, które po- wstały w ten sposób, są przystające. Następnie w każdy z trzech nowo powstałych trójkątów znów wpisujemy prostokąt i otrzymujemy dziewięć trójkątów przystających. Procedurę tę po- wtarzamy w nieskończoność. Niech \(S_n\) oznacza sumę pól prostokątów wpisanych w krokach od pierwszego do n-tego włącznie.
Wykaż że \( \Lim_{n\to\infty }S_n= \frac{a^2}{4} \)

Obliczyłem boki tych prostokątów. Później iloraz sumy szeregu tych pól \(q= \frac{3}{4} \) i sumę pól \(S_n= \frac {a^2 \sqrt{2} }{2} \). Tylko nie wiem jak granica tego szeregu ma być równa \(\frac{a^2}{4}\).

[Tulio]

Źle obliczone \(S_n\). \(S_n\) musi zależeć od \(n\) - inaczej jest stałe dla każdego \(n\) co jest bez sensu.

[Maciek32]

Czy to rozwiązanie jest okej?
https://skul.pl/matematyka/zadanie,45,a,pid,441918

[Jerry]

Niech \(a_n\) oznacza długości przeciwprostokątnych trójkątów powstałych w wyniku działania \(n\)-tej procedury (\(a_0=a\)), \(P_n\) - suma pól tych trójkątów (\(P_0={a^2\over4}\)). Wtedy
\[{a_n\over \sqrt2}=a_{n+1}+{a_{n+1}\over\sqrt2}\iff a_{n+1}=a_n\cdot(\sqrt2-1)\]
czyli trójkąty te są podobne w skali \(k=\sqrt2-1\) i
\[P_n=3^n\cdot P_0\cdot(\sqrt2-1)^{2n}\\
S_n=P_0-P_n=P_0\cdot\left[1-\left(3\cdot(\sqrt2-1)^2\right)^n\right]\nad{n\to\infty}{\longrightarrow}P_0\cdot(1-0)\]
bo \(3\cdot(\sqrt2-1)^2\approx 0,515\)

Pozdrawiam

[edited] wygląda na poprawne, ale... polecam moje

[Tulio]

Czy to rozwiązanie jest okej?
https://skul.pl/matematyka/zadanie,45,a,pid,441918

Tak, chociaż do pełni szczęścia brakuje jakiegoś dowodu, że \(q\) faktycznie jest stałe. To jest obliczyli \(q=\frac{a_2}{a_1}\), ale nawet niewiadomo czy \(\frac{a_3}{a_2}\) będzie tyle samo (tzn. wiadomo, ale nie napisali tego). Obliczeniowo jest w porządku.

Edit: Jerrego jest poprawne bo on zaznaczył tę "stałość" zmian.

[Maciek32]

Czy to rozwiązanie jest okej?
https://skul.pl/matematyka/zadanie,45,a,pid,441918

A jeszcze pytanie do tego. Dlaczego wymiary tego pierwszego prostokąta to nie \(\frac{a}{2 \sqrt{2} }\) i \(\frac{a}{2} \)?

[Tulio]

Wymiary największego trójkąta prostokątnego:
\(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}}, a\)
Trzy przystające, równoramienne trójkąty prostokątne mają przeciwprostokątną równą połowie przyprostokątnej najwięszego trójkąta prostokątnego. Czyli \(b=\frac{a}{2\sqrt{2}}\).
Licząc teraz przyprostokątne tych trójkątów otrzymujemy trójkąty:
\(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{2}}\)
Czyli tyle co podałeś. Nie mam pojęcia więc skąd ich wartości. Wygląda jakby wzięli inną wartość początkową przeciwprostokątnej (nie \(a\)). Na stronie którą podałeś jest tylko rozwiązanie, masz ich treść? Możliwe, że różnica wersji podręczników.

[Jerry]

Trzy przystające, równoramienne trójkąty prostokątne mają przeciwprostokątną równą połowie przyprostokątnej najwięszego trójkąta prostokątnego. Czyli \(b=\frac{a}{2\sqrt{2}}\).

Wg mnie - nie!
Przyprostokątną wyjściowego trójkąta wypełniają przyprostokątna jednego i przeciwprostokątna drugiego z przystających trójkątów (tak liczyłem w moim poprzednim poście).

Pozdrawiam

[Tulio]

Wg mnie - nie!

I słusznie, źle spojrzałem. Stąd oni mają rację.