Dowód

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Maciek32
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 96
Rejestracja: 14 mar 2023, 18:08
Podziękowania: 44 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Dowód

Post autor: Maciek32 »

W trójkąt prostokątny równoramienny o prze- ciwprostokątnej a wpisujemy prostokąt jak na rysunku obok. Trzy mniejsze trójkąty, które po- wstały w ten sposób, są przystające. Następnie w każdy z trzech nowo powstałych trójkątów znów wpisujemy prostokąt i otrzymujemy dziewięć trójkątów przystających. Procedurę tę po- wtarzamy w nieskończoność. Niech \(S_n\) oznacza sumę pól prostokątów wpisanych w krokach od pierwszego do n-tego włącznie.
Wykaż że \( \Lim_{n\to\infty }S_n= \frac{a^2}{4} \)
20240609_154601 (1).jpg
Obliczyłem boki tych prostokątów. Później iloraz sumy szeregu tych pól \(q= \frac{3}{4} \) i sumę pól \(S_n= \frac {a^2 \sqrt{2} }{2} \). Tylko nie wiem jak granica tego szeregu ma być równa \(\frac{a^2}{4}\).
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
Tulio
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 247
Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
Podziękowania: 20 razy
Otrzymane podziękowania: 63 razy
Płeć:

Re: Dowód

Post autor: Tulio »

Źle obliczone \(S_n\). \(S_n\) musi zależeć od \(n\) - inaczej jest stałe dla każdego \(n\) co jest bez sensu.
Maciek32
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 96
Rejestracja: 14 mar 2023, 18:08
Podziękowania: 44 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Dowód

Post autor: Maciek32 »

Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3571
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 51 razy
Otrzymane podziękowania: 1964 razy

Re: Dowód

Post autor: Jerry »

Niech \(a_n\) oznacza długości przeciwprostokątnych trójkątów powstałych w wyniku działania \(n\)-tej procedury (\(a_0=a\)), \(P_n\) - suma pól tych trójkątów (\(P_0={a^2\over4}\)). Wtedy
\[{a_n\over \sqrt2}=a_{n+1}+{a_{n+1}\over\sqrt2}\iff a_{n+1}=a_n\cdot(\sqrt2-1)\]
czyli trójkąty te są podobne w skali \(k=\sqrt2-1\) i
\[P_n=3^n\cdot P_0\cdot(\sqrt2-1)^{2n}\\
S_n=P_0-P_n=P_0\cdot\left[1-\left(3\cdot(\sqrt2-1)^2\right)^n\right]\nad{n\to\infty}{\longrightarrow}P_0\cdot(1-0)\]
bo \(3\cdot(\sqrt2-1)^2\approx 0,515\)

Pozdrawiam

[edited] wygląda na poprawne, ale... polecam moje :wink:
Tulio
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 247
Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
Podziękowania: 20 razy
Otrzymane podziękowania: 63 razy
Płeć:

Re: Dowód

Post autor: Tulio »

Maciek32 pisze: 09 cze 2024, 21:30 Czy to rozwiązanie jest okej?
https://skul.pl/matematyka/zadanie,45,a,pid,441918
Tak, chociaż do pełni szczęścia brakuje jakiegoś dowodu, że \(q\) faktycznie jest stałe. To jest obliczyli \(q=\frac{a_2}{a_1}\), ale nawet niewiadomo czy \(\frac{a_3}{a_2}\) będzie tyle samo (tzn. wiadomo, ale nie napisali tego). Obliczeniowo jest w porządku.

Edit: Jerrego jest poprawne bo on zaznaczył tę "stałość" zmian.
Maciek32
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 96
Rejestracja: 14 mar 2023, 18:08
Podziękowania: 44 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Dowód

Post autor: Maciek32 »

Maciek32 pisze: 09 cze 2024, 21:30 Czy to rozwiązanie jest okej?
https://skul.pl/matematyka/zadanie,45,a,pid,441918
A jeszcze pytanie do tego. Dlaczego wymiary tego pierwszego prostokąta to nie \(\frac{a}{2 \sqrt{2} }\) i \(\frac{a}{2} \)?
Tulio
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 247
Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
Podziękowania: 20 razy
Otrzymane podziękowania: 63 razy
Płeć:

Re: Dowód

Post autor: Tulio »

Wymiary największego trójkąta prostokątnego:
\(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}}, a\)
Trzy przystające, równoramienne trójkąty prostokątne mają przeciwprostokątną równą połowie przyprostokątnej najwięszego trójkąta prostokątnego. Czyli \(b=\frac{a}{2\sqrt{2}}\).
Licząc teraz przyprostokątne tych trójkątów otrzymujemy trójkąty:
\(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{2}}\)
Czyli tyle co podałeś. Nie mam pojęcia więc skąd ich wartości. Wygląda jakby wzięli inną wartość początkową przeciwprostokątnej (nie \(a\)). Na stronie którą podałeś jest tylko rozwiązanie, masz ich treść? Możliwe, że różnica wersji podręczników.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3571
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 51 razy
Otrzymane podziękowania: 1964 razy

Re: Dowód

Post autor: Jerry »

Tulio pisze: 10 cze 2024, 16:51 Trzy przystające, równoramienne trójkąty prostokątne mają przeciwprostokątną równą połowie przyprostokątnej najwięszego trójkąta prostokątnego. Czyli \(b=\frac{a}{2\sqrt{2}}\).
Wg mnie - nie!
Przyprostokątną wyjściowego trójkąta wypełniają przyprostokątna jednego i przeciwprostokątna drugiego z przystających trójkątów (tak liczyłem w moim poprzednim poście).

Pozdrawiam
Tulio
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 247
Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
Podziękowania: 20 razy
Otrzymane podziękowania: 63 razy
Płeć:

Re: Dowód

Post autor: Tulio »

Jerry pisze: 10 cze 2024, 18:15 Wg mnie - nie!
I słusznie, źle spojrzałem. Stąd oni mają rację.