Zad 1
Rozwiąż równanie \(2+7+12+…+x=245\)
Zad 2
Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych mniejszych od \(98\) które w dzieleniu przez \(3\) dają resztę \(2\)
Zad 3
Wyznacz \(x\) wiedząc że liczby \(x-2,\ 5,\ 3-2x\) tworzą ciąg arytmetyczny
Zad 4
Sprawdź czy podany ciąg jest arytmetyczny
\(a_n=4n-{1\over3} \\
a_n={3\over2}n\)
Ciag arytmetyczny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
cucumberppp
- Witam na forum
- Posty: 7
- Rejestracja: 19 lis 2023, 18:46
- Podziękowania: 12 razy
- Płeć:
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1748
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 445 razy
Re: Ciag arytmetyczny
Zadanie 1
Ciąg arytmetyczny o wyrazie pierwszym \( a_{1} = 2,\) róznicy \( r = 5 \)
Metoda pierwsza (ręczna), gdy ilość wyrazów ciągu do sumowania jest niewielka.
\( 2 + 7 + 12 + 17 +22 + 27 + 32 + 37 + 42 + 47 = 245.\)
Stąd ostatni wyraz ciągu \( x = 47.\)
Metoda druga (wzory)
\( a_{n} = a_{1} + (n-1)\cdot r \)
\( x = 2 + (n-1)\cdot 5 = 5n-3 \rightarrow n = \frac{3+x}{5}.\)
\( S = \frac{a_{1} + a_{n}}{2}\cdot n = \frac{2 + x}{2}\cdot \frac{3x+5}{5} =245.\)
\( (2+x)(3+x) = 2450, \ \ x>0. \)
\( (2+47)(3+47) = 49\cdot 50 = 2450, \ \ x=47. \)
lub za pomocą wyróżnika \( \Delta:\)
\( x^2 + 5x - 2444= 0, \ \ \Delta = 25 + 4\cdot 2444 = 9801, \ \ \sqrt{\Delta} = 99, \ \ x = \frac{-5 +99}{2} = \frac{94}{2} = 47.\)
Ciąg arytmetyczny o wyrazie pierwszym \( a_{1} = 2,\) róznicy \( r = 5 \)
Metoda pierwsza (ręczna), gdy ilość wyrazów ciągu do sumowania jest niewielka.
\( 2 + 7 + 12 + 17 +22 + 27 + 32 + 37 + 42 + 47 = 245.\)
Stąd ostatni wyraz ciągu \( x = 47.\)
Metoda druga (wzory)
\( a_{n} = a_{1} + (n-1)\cdot r \)
\( x = 2 + (n-1)\cdot 5 = 5n-3 \rightarrow n = \frac{3+x}{5}.\)
\( S = \frac{a_{1} + a_{n}}{2}\cdot n = \frac{2 + x}{2}\cdot \frac{3x+5}{5} =245.\)
\( (2+x)(3+x) = 2450, \ \ x>0. \)
\( (2+47)(3+47) = 49\cdot 50 = 2450, \ \ x=47. \)
lub za pomocą wyróżnika \( \Delta:\)
\( x^2 + 5x - 2444= 0, \ \ \Delta = 25 + 4\cdot 2444 = 9801, \ \ \sqrt{\Delta} = 99, \ \ x = \frac{-5 +99}{2} = \frac{94}{2} = 47.\)
Ostatnio zmieniony 07 cze 2024, 22:01 przez janusz55, łącznie zmieniany 2 razy.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1748
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 445 razy
Re: Ciag arytmetyczny
Zadanie 2
Postać ogólna liczby:
\( l_{n} = 3n + 2, \ \ n\in \nn.\)
\( 3n+2 < 98 \rightarrow n < 32.\)
\( S_{31} = \frac{l_{1} + l_{31}}{2}\cdot 31 = \frac{5 + 95}{2}\cdot 31 = 50\cdot 31 = 1550.\)
Postać ogólna liczby:
\( l_{n} = 3n + 2, \ \ n\in \nn.\)
\( 3n+2 < 98 \rightarrow n < 32.\)
\( S_{31} = \frac{l_{1} + l_{31}}{2}\cdot 31 = \frac{5 + 95}{2}\cdot 31 = 50\cdot 31 = 1550.\)
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1748
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 445 razy
Re: Ciag arytmetyczny
Zadanie 3
Z własności ciągu arytmetycznego:
\( a_{n}= \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}, \ \ n > 1\)
\( a_{n-1} = x-2, \ \ a_{n} = 5, \ \ a_{n+1} = 3-2x,\)
\( 5 = \frac{x-2 + 3-2x}{2} \rightarrow (10 = -x +1) \rightarrow x = -9,\)
Sprawdzenie:
Ciąg \( (-9-2, \ \ 5, \ \ 3+18) = (-11, \ \ 5, \ \ 21) \) jest ciągiem arytmetycznym o \( a_{1} = -11\) i \( r = 16.\)
Z własności ciągu arytmetycznego:
\( a_{n}= \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}, \ \ n > 1\)
\( a_{n-1} = x-2, \ \ a_{n} = 5, \ \ a_{n+1} = 3-2x,\)
\( 5 = \frac{x-2 + 3-2x}{2} \rightarrow (10 = -x +1) \rightarrow x = -9,\)
Sprawdzenie:
Ciąg \( (-9-2, \ \ 5, \ \ 3+18) = (-11, \ \ 5, \ \ 21) \) jest ciągiem arytmetycznym o \( a_{1} = -11\) i \( r = 16.\)
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1748
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 445 razy
Re: Ciag arytmetyczny
Zadanie 4
a)
\( a_{n} = 4n -\frac{1}{3}\) - jest to wyraz ogólny ciągu arytmetycznego, bo różnica dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu:
\( a_{n+1}- a_{n} = 4(n+1) - \frac{1}{3} - 4n + \frac{1}{3} = 4n + 4 -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 4 \) jest stałą równą \( 4 .\)
b)
\( a_{n} = \frac{3}{2n} \) - nie jest to wyraz ogólny ciągu arytmetycznego, bo różnica dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu:
\( a_{n+1} - a_{n} = \frac{3}{2(n+1)} - \frac{3}{2n} =\frac{3[2n -(2n+2)]}{(2n+2)\cdot 2n} = \frac{3\cdot (-2)}{(2n+2)\cdot 2n} = \frac{-6}{4(n+1)\cdot n}=\frac{-3}{2(n+1)\cdot n}.\) nie jest stała lecz zależy od \( n\) - ilości wyrazów.
a)
\( a_{n} = 4n -\frac{1}{3}\) - jest to wyraz ogólny ciągu arytmetycznego, bo różnica dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu:
\( a_{n+1}- a_{n} = 4(n+1) - \frac{1}{3} - 4n + \frac{1}{3} = 4n + 4 -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 4 \) jest stałą równą \( 4 .\)
b)
\( a_{n} = \frac{3}{2n} \) - nie jest to wyraz ogólny ciągu arytmetycznego, bo różnica dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu:
\( a_{n+1} - a_{n} = \frac{3}{2(n+1)} - \frac{3}{2n} =\frac{3[2n -(2n+2)]}{(2n+2)\cdot 2n} = \frac{3\cdot (-2)}{(2n+2)\cdot 2n} = \frac{-6}{4(n+1)\cdot n}=\frac{-3}{2(n+1)\cdot n}.\) nie jest stała lecz zależy od \( n\) - ilości wyrazów.