Ciag arytmetyczny

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
cucumberppp
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 19 lis 2023, 19:46
Podziękowania: 12 razy
Płeć:

Ciag arytmetyczny

Post autor: cucumberppp »

Zad 1

Rozwiąż równanie \(2+7+12+…+x=245\)

Zad 2

Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych mniejszych od \(98\) które w dzieleniu przez \(3\) dają resztę \(2\)

Zad 3
Wyznacz \(x\) wiedząc że liczby \(x-2,\ 5,\ 3-2x\) tworzą ciąg arytmetyczny

Zad 4
Sprawdź czy podany ciąg jest arytmetyczny
\(a_n=4n-{1\over3} \\
a_n={3\over2}n\)
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1685
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 440 razy

Re: Ciag arytmetyczny

Post autor: janusz55 »

Zadanie 1

Ciąg arytmetyczny o wyrazie pierwszym \( a_{1} = 2,\) róznicy \( r = 5 \)

Metoda pierwsza (ręczna), gdy ilość wyrazów ciągu do sumowania jest niewielka.

\( 2 + 7 + 12 + 17 +22 + 27 + 32 + 37 + 42 + 47 = 245.\)

Stąd ostatni wyraz ciągu \( x = 47.\)

Metoda druga (wzory)

\( a_{n} = a_{1} + (n-1)\cdot r \)

\( x = 2 + (n-1)\cdot 5 = 5n-3 \rightarrow n = \frac{3+x}{5}.\)

\( S = \frac{a_{1} + a_{n}}{2}\cdot n = \frac{2 + x}{2}\cdot \frac{3x+5}{5} =245.\)

\( (2+x)(3+x) = 2450, \ \ x>0. \)

\( (2+47)(3+47) = 49\cdot 50 = 2450, \ \ x=47. \)

lub za pomocą wyróżnika \( \Delta:\)

\( x^2 + 5x - 2444= 0, \ \ \Delta = 25 + 4\cdot 2444 = 9801, \ \ \sqrt{\Delta} = 99, \ \ x = \frac{-5 +99}{2} = \frac{94}{2} = 47.\)
Ostatnio zmieniony 07 cze 2024, 22:01 przez janusz55, łącznie zmieniany 2 razy.
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1685
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 440 razy

Re: Ciag arytmetyczny

Post autor: janusz55 »

Zadanie 2

Postać ogólna liczby:

\( l_{n} = 3n + 2, \ \ n\in \nn.\)

\( 3n+2 < 98 \rightarrow n < 32.\)

\( S_{31} = \frac{l_{1} + l_{31}}{2}\cdot 31 = \frac{5 + 95}{2}\cdot 31 = 50\cdot 31 = 1550.\)
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1685
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 440 razy

Re: Ciag arytmetyczny

Post autor: janusz55 »

Zadanie 3

Z własności ciągu arytmetycznego:

\( a_{n}= \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}, \ \ n > 1\)

\( a_{n-1} = x-2, \ \ a_{n} = 5, \ \ a_{n+1} = 3-2x,\)

\( 5 = \frac{x-2 + 3-2x}{2} \rightarrow (10 = -x +1) \rightarrow x = -9,\)

Sprawdzenie:

Ciąg \( (-9-2, \ \ 5, \ \ 3+18) = (-11, \ \ 5, \ \ 21) \) jest ciągiem arytmetycznym o \( a_{1} = -11\) i \( r = 16.\)
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1685
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 440 razy

Re: Ciag arytmetyczny

Post autor: janusz55 »

Zadanie 4

a)
\( a_{n} = 4n -\frac{1}{3}\) - jest to wyraz ogólny ciągu arytmetycznego, bo różnica dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu:

\( a_{n+1}- a_{n} = 4(n+1) - \frac{1}{3} - 4n + \frac{1}{3} = 4n + 4 -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 4 \) jest stałą równą \( 4 .\)

b)
\( a_{n} = \frac{3}{2n} \) - nie jest to wyraz ogólny ciągu arytmetycznego, bo różnica dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu:

\( a_{n+1} - a_{n} = \frac{3}{2(n+1)} - \frac{3}{2n} =\frac{3[2n -(2n+2)]}{(2n+2)\cdot 2n} = \frac{3\cdot (-2)}{(2n+2)\cdot 2n} = \frac{-6}{4(n+1)\cdot n}=\frac{-3}{2(n+1)\cdot n}.\) nie jest stała lecz zależy od \( n\) - ilości wyrazów.