objętość ostrosłupa rozszerzenie

[kazank]

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Kąt między krawędzią boczną i podstawą jest równy kątowi płaskiemu przy wierzchołku ostrosłupa. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

[Tulio]

Rysunek:

ostrosłup.png (21.05 KiB) Przejrzano 179 razy

\( \left|AF \right| = \frac{a\sqrt{2}}{2}, \left| FE\right| = \left|AF \right|\cdot\tg{\alpha} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \tg{\alpha}, \left|AE \right|= \frac{\left|AF\right|}{\cos{\alpha}} = \frac{a\sqrt{2}}{2\cos{\alpha}}\)
więc objętość:
\(V=\frac{1}{3}a^2\cdot\left| FE\right| = \frac{1}{3}a^2\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \tg{\alpha} = \frac{a^3\sqrt{2}\tg{\alpha}}{6}\)

teraz należy pozbyć się \(\alpha\) z pomocą kąta płaskiego. Na przykład z tw. cosinusów:
\(a^2=\left|BE \right|^2+\left|CE \right|^2-2\cdot\left|BE \right|\cdot\left|CE \right|\cdot\cos{\alpha}\)
\(a^2=2\cdot \left( \frac{a\sqrt{2}}{2\cos{\alpha}}\right)^2 -2\cdot \left( \frac{a\sqrt{2}}{2\cos{\alpha}}\right)^2 \cos{\alpha}\)
\(...\)
\(\cos^2{\alpha}=1-\cos{\alpha}, t=\cos{\alpha}\)
\(...\)
\(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
Z tego \(\tg{\alpha}\) i koniec.

[janusz55]

Objętość ostrosłupa:

\( |V| = \frac{1}{3}a^2\cdot H.\)

Jeśli wprowadzimy oznaczenia:

\( k \) - długość krawędzi bocznej ostrosłupa,

\( h \) - długość wysokości ściany bocznej, to mamy zależności:

\( \sin(\alpha) = \frac{H}{k} \ \ (1) \)

Z trójkąta prostokątnego ściany bocznej \( \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{h}{k} \ \ (2)\)

Dzieląc równanie \( (1) \) przez \( (2) \)

\( \frac{\sin(\alpha)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{\frac{H}{k}}{\frac{h}{k}} = \frac{H}{h}.\)

Stąd

\( h = \frac{H\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin(\alpha)}= \frac{H\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{H}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \ \ (3)\)

Z twierdzenia Pitagorasa i równania \( (3) \)

\( H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^ 2 = h^2 \)

\( H^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{H^2}{4\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\)

\( \frac{a^2}{4} = H^2\left(\frac{1}{4\sin(\left(\frac{\alpha}{2}\right)} -1 \right).\)

\( H = \frac{a}{2\sqrt{\frac{1-4\sin^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{4sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}} =\frac{a\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\sqrt{1-4\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}, \ \ 1 - 4\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) >0, \ \ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)< \frac{1}{2}, \ \ \alpha<\frac{\pi}{3}. \)

\( |V| = \frac{1}{6} \frac{a^3}{\sqrt{1- 4\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}.\)

[Tulio]

Nie znamy \(\alpha\), nie może być w ostatecznym wzorze.
W ten sposób moglibyśmy od razu podać:
\(V=\frac{1}{3}a^2\cdot \left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \tg\alpha\right) \)
(Przy moich oznaczeniach/rysunku)