Rozkłady zmiennych losowych

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Permamagnus
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 25 maja 2024, 11:41

Rozkłady zmiennych losowych

Post autor: Permamagnus »

1. Zmienne losowe 𝑋1, 𝑋2, …, 𝑋100 są niezależne o jednakowym rozkładzie wykładniczym o odchyleniu 2.
Oblicz przybliżone prawdopodobieństwo 𝑃(𝑆100 ≥ 250).

2. Zmienne losowe 𝑋1, 𝑋2, …, 𝑋125 są niezależne o jednakowym rozkładzie geometrycznym o średniej 5.
Oblicz przybliżone prawdopodobieństwo𝑃(𝑆125 > 600).

3. Zmienne losowe 𝑋1, 𝑋2, …, 𝑋490 są niezależne o jednakowym rozkładzie zadanym gęstością:
\(f(x)=\begin{cases}\frac{4}{3}\sqrt[3]{x}&\text{, } 𝑥 ∈ (0,1)\\ 0\text{, } 𝑥 ∈ 𝑅 \(0,1) \end{cases}\)
Oblicz przybliżone prawdopodobieństwo 𝑃(𝑆490 < 265).

4. Zmienne losowe 𝑋1, 𝑋2, …, 𝑋100 są niezależne o jednakowym rozkładzie zadanym tabelką:
x | -1 0 1 2
p(x) | 0.1 0.5 0.3 0.1
Oblicz przybliżone prawdopodobieństwo 𝑃(𝑆100 ≤ 45).
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1685
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 440 razy

Re: Rozkłady zmiennych losowych

Post autor: janusz55 »

1.
Korzystamy z twierdzenia Lideberga-Levy'ego.

Zmienne losowe \( X_{i} \) są niezależne o jednakowym rozkładzie wykładniczym z parametrem \( \lambda = \frac{1}{D(X_{i})} = \frac{1}{2}.\)
Mamy \( n=100, \ \ \lambda = \frac{1}{2}, \ \ m = 2, \ \ \sigma = D(X_{i}) = 2.\)

\( P\left(\sum_{i=1}^{100}X_{i} >250\right) = P\left(\frac{\sum_{i=1}^{100}X_{i} - n\cdot m}{\sigma\sqrt{n}} > \frac{250 -n\cdot m}{\sigma \sqrt{n}}\right) = P\left( Z > \frac{250 -100 \cdot 2}{2 \sqrt{100}}\right) = P\left (Z>\frac{1}{2}\right ) = 1 - P\left (Z <\frac{1}{2}\right) = 1 -\Phi\left(\frac{1}{2}\right) = 0,3085375 \approx 0,31.\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> P = 1 - pnorm(1/2)
> P
[1] 0.3085375
Wskazówki do pozostałych zadań.

2.
Korzystamy z Twierdzenia z Lindenberga-Levy'ego.

Na podstawie \( n = 125, m = 5, \ \ p = \frac{1}{m} = \frac{1}{5} \ \ \sigma = \sqrt{\frac{1-p}{p^2}} \)
obliczamy przybliżoną wartość prawdopodobieństwa \( P(S_{125}> 600).\)

3.
Korzystamy z Twierdzenia Lindenberga- Levy'ego.

Na podstawie \( n = 490\), gęstości \( f(x) \), obliczamy, średnią \( m, \) wariancję \( D^2(X_{i}) \), odchylenie standardowe \( \sigma = \sqrt{D^2(X_{i})} \) oraz przybliżoną wartość prawdopodobieństwa \( P(S_{490}> 600).\)

4.
Korzystamy z Twierdzenia Lindenberga-Levy'ego.

Na podstawie \( n = 100,\) rozkładu prawdopodobieństwa \( X_{i}: \) tabelka, obliczamy wartość średnią \( m \) wariancję \( \sigma^2 \) odchylenie standardowe \( \sigma \) oraz przybliżoną wartość prawdopodobieństwa \( P(S_{100}\leq 45).\)