Na podstawie definicji zbadaj czy poniższe szeregi są zbieżne. Jeśli tak, oblicz ich sumę
\(\sum_{n=1}^{\infty } \frac{3^n +4^{n-3}}{7^{n+3}}\)
szereg zbiezny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3565
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1961 razy
Re: szereg zbiezny
Ponieważ ciąg:
\[a_n=\dfrac{3^n +4^{n-3}}{7^{n+3}}=\dfrac{3}{2401}\cdot\left(\dfrac{3}{7}\right)^{n-1}+\dfrac{1}{38416}\cdot\left(\dfrac{4}{7}\right)^{n-1}\]
jest sumą dwóch ciągów geometrycznych zbieżnych do zera, zatem dany szereg jest zbieżny i
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty } \dfrac{3^n +4^{n-3}}{7^{n+3}}=\dfrac{\dfrac{3}{2401}}{1-\dfrac{3}{7}}+\dfrac{\dfrac{1}{38416}}{1-\dfrac{4}{7}}=\ldots\]
Pozdrawiam
\[a_n=\dfrac{3^n +4^{n-3}}{7^{n+3}}=\dfrac{3}{2401}\cdot\left(\dfrac{3}{7}\right)^{n-1}+\dfrac{1}{38416}\cdot\left(\dfrac{4}{7}\right)^{n-1}\]
jest sumą dwóch ciągów geometrycznych zbieżnych do zera, zatem dany szereg jest zbieżny i
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty } \dfrac{3^n +4^{n-3}}{7^{n+3}}=\dfrac{\dfrac{3}{2401}}{1-\dfrac{3}{7}}+\dfrac{\dfrac{1}{38416}}{1-\dfrac{4}{7}}=\ldots\]
Pozdrawiam
-
- Fachowiec
- Posty: 1683
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 437 razy
Re: szereg zbiezny
Szereg jako suma dwóch zbieżnych szeregów geometrycznych jest zbieżny.
Jego suma wynosi:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+ 4^{n-3}}{7^{n+3}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{7^3\cdot 7^{n}} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^{n-3}}{7^{n+3}} = \frac{1}{7^3}\sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{3}{7}\right)^{n} + \frac{1}{7^3\cdot 4^3}\sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{4}{7}\right)^{n}= \frac{1}{343}\frac{\frac{3}{7}}{1-\frac{3}{7}} + \frac{1}{21952}\frac{\frac{4}{7}}{1 -\frac{4}{7}} = \frac{1}{343}\frac{\frac{3}{7}}{\frac{4}{7}}+ \frac{1}{21952}\frac{\frac{4}{7}}{\frac{3}{7}} = \frac{1}{343}\cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{21952}\cdot \frac{4}{3}=\)
\( = \frac{3}{1372} + \frac{1}{5488}\cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{1372} + \frac{1}{16464} = \frac{3\cdot 12+1}{16464} = \frac{37}{16464}.\)
Jego suma wynosi:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+ 4^{n-3}}{7^{n+3}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{7^3\cdot 7^{n}} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^{n-3}}{7^{n+3}} = \frac{1}{7^3}\sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{3}{7}\right)^{n} + \frac{1}{7^3\cdot 4^3}\sum_{i=1}^{\infty} \left(\frac{4}{7}\right)^{n}= \frac{1}{343}\frac{\frac{3}{7}}{1-\frac{3}{7}} + \frac{1}{21952}\frac{\frac{4}{7}}{1 -\frac{4}{7}} = \frac{1}{343}\frac{\frac{3}{7}}{\frac{4}{7}}+ \frac{1}{21952}\frac{\frac{4}{7}}{\frac{3}{7}} = \frac{1}{343}\cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{21952}\cdot \frac{4}{3}=\)
\( = \frac{3}{1372} + \frac{1}{5488}\cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{1372} + \frac{1}{16464} = \frac{3\cdot 12+1}{16464} = \frac{37}{16464}.\)