Prawdopodobieństwo kurczab kule

[adamb431]

W pudełku znajduje się 10 rozróżnialnych kul: 2 białe, 3 czerwone i 5 zielonych. Losujemy jednocześnie 3 kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
d) co najmniej dwie kule będą czerwone.
Odp: 11÷60
W miarę wiem jak zrobić to zadanie z zbiorów, ale nie wiem jak z ciągów - przy ustalonej kolejności. Również mile widziane byłoby rozwiązanie drzewkiem, bo z tym też miałem problem. Jestem nowy na tej stronie i to mój pierwszy post.

[janusz55]

Przedstaw swoje rozwiązanie "jak miarę wiesz jak zrobić je ze zbiorów".

[adamb431]

Najpierw obliczmy omegę, losujemy 3 kule z 10, więc mamy: Omega = (10|2)=120
Omega to 10 po 3.
1)Bierzemy 2 kule czerwone z 3 cz. oraz jedną kulę z pozostałych 7.
2)Później bierzemy 3 kule cz. z 3 cz. oraz 0 z pozostałych.
Następnie moc zdarzenia A wynosi: (3|2)*(7|1)+(3|3)*(7|0)=3*7+1*1=22
P(A)=22/120=11/60

Nie wiem jak zrobić to zadanie drugim sposobem z ciągów - gdy kolejność jest istotna, również byłbym wdzięczny gdyby ktoś mógł mi wytłumaczyć jak zrobić drzewko do tego zadania.

[janusz55]

Pudełko z rozróżnialnymi kulami: \( |b_{1},b_{2}, c_{3}, c_{4},c_{5}, z_{6},z_{7},z_{8},z_{9}, z_{10}|\)

Nasze działanie (doświadczenie) polega na jednoczesnym losowaniu trzech kul z pudełka.

Zakładamy, że wylosowanie każdej kuli z dziesięciu kul jest jednakowo możliwe.

Jednoczesność losowania trzech kul (bez zwracania do pudełka) oznacza, że mamy do czynienia z kombinacjami bez powtórzeń w schemacie hipergeometrycznym.

Przestrzeń probabilistyczna - dyskretna dla tego doświadczenia losowego: \( ( \Omega, \Sigma, P).\)

\( \Omega \)- zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych.

\( \Sigma = \mathcal{P}(\Omega) \) - zbiór wszystkich podzbiorów zbioru \( \Omega.\)

\( \Omega= \{\omega: \ \ \omega = f:\{b_{1},b_{2}, c_{3}, c_{4},c_{5}, z_{6},z_{7},z_{8},z_{9}, z_{10}\} \rightarrow (i, j, k) \wedge \ \ f - \ \ funkcja \ \ rosnąca \}. \)

\( |\Omega| = C_{10}^{3} = {10\choose 3}= 120. \)

\( P \) - rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \( \Omega.\)

Zdarzenie \( D \) - "wylosowano co najmniej dwie kule czerwone".

Zdarzenie przeciwne \( \overline{D} \) - nie wylosowano kuli czerwonej lub wylosowano jedną kulę czerwoną.

\(\overline{D} = \overline{D}_{1} \cup \overline{D_{2}}.\)

\(\overline{D_{1}} =\{\omega: \ \ \omega = g: \{b_{1},b_{2}, c_{3}, c_{4},c_{5}, z_{6},z_{7},z_{8},z_{9}, z_{10}\} \rightarrow (i, j, k): \ \ i, j, k \notin \{g(c_{3}),g(c_{4}),g(c_{5})\}\}. \)

\( \overline{D}_{2} = \{\omega: \ \ \omega = h: \{b_{1},b_{2}, c_{3}, c_{4},c_{5}, z_{6},z_{7},z_{8},z_{9}, z_{10}\} \rightarrow (i, j, k): \ \ i, j\neq h(c_{3}) \vee k, j\neq h(c_{4}) \vee i, k\neq h(c_{5}) \}. \)

\( |D| = {3\choose 0}\cdot {7\choose 3} + {3\choose 1} \cdot {7\choose 2} = 35+63= 98.\)

\( P(\overline{D}) = \frac{|D|}{|\Omega|} = \frac{98}{120} = \frac{49}{60} .\)

Z własności prawdopodobieństwa:

\( P(D) = 1 - P(\overline{D}) = 1- \frac{49}{60} = \frac{11}{60}.\)

Losując jednocześnie trzy kule, możemy oczekiwać, że w około \( 17 \% \) ogólnej liczby wyników, otrzymamy co najmniej dwie kule czerwone.

[adamb431]

1)A czy da się zrobić to zadanie, zakładając że mamy do czynienia z wariancją bez powtórzeń?
2)Czy jest możliwe stworzenie drzewka propabilistycznego do tego zadania?

[janusz55]

Jeżeli treść zadania zamiast słowa "jednocześnie" zawierałaby słowo "kolejno".

Jest możliwe, ale pamiętajmy drzewko jest tylko pomocnym narzędziem w rozwiązaniu szkolnych zadań.

https://zapodaj.net/plik-iDP7eHG9by

[adamb431]

Dziękuję za pomoc , póki co mam do czynienia z szkolnymi zadaniami.