wartosc najwieksza I najmniejsza funkcji

[Joolxs274]

Proszę o pomoc
Znajdz wartosc najmniejsza I najwieksza funkcji \(f(x,y)=x^3+y^2-2y\) na trójkącie o wierzchołkach \(A(1,0)\), \(B(3,0)\), \(C(3,2)\).
Odp. Powinna być: punkty \((0,1)\) poza zbiorem, \(f(3,1)=26, (0,0)\) poza zbiorem, \((0,-1), (\frac{2}{3}, -\frac{1}{3})\) poza zbiorem, \(f(3,0)=f(3,2)=27\) Maksimum, \(f(1,0)=1\) Minimum.

[Tulio]

Jest to standardowe zadanie, robimy jak tu czy tu

[Joolxs274]

No ale wiem skąd punkt \((0,0), (0,1)\) Maksimum i Minimum, ale nie wiem skąd punkt \((0 -1), (\frac{2}{3},-\frac{1}{3})\) i \( f(3,1)\).

[Tulio]

\( \cdot \)Punkt \((0,-1)\) - nie mam pojęcia. Tak jak piszą jest "poza zbiorem", tak jak \((-\pi,e)\) i nieskończenie wiele innych punktów.
\( \cdot \)Punkt \((0,0)\) - nie mam pojęcia. Tak jak piszą jest "poza zbiorem", tak jak \((\sqrt{2},\sqrt{77})\) i nieskończenie wiele innych punktów.
\( \cdot \)Punkt \((0,1)\) - nie mam pojęcia. Tak jak piszą jest "poza zbiorem", tak jak \((8!,\frac{1}{9!})\) i nieskończenie wiele innych punktów.
\( \cdot \)Punkt \((\frac{2}{3},-\frac{1}{3})\) - nie mam pojęcia. Tak jak piszą jest "poza zbiorem", tak jak \((321,123)\) i nieskończenie wiele innych punktów.
\( \cdot \)Punkt \((3,1)\) jest poprawnym punktem - należy do obwodu trójkąta (nie jestem pewny czy w zadaniu przez "na trójkącie" rozumie się, "wewnątrz trójkąta [z obwodem]" czy "wyłącznie na obwodzie trójkąta", ale w obu należy), ale nie jest ani maksimum, ani minimum więc nie wiem dlaczego o nim wspomina odpowiedź.

W ogóle jeśli w zadaniu chodzi o ekstrema na obwodzie trójkąta, to zadanie się upraszcza. Znajdujemy bowiem proste zawierające ten obwód:
\(y=0, x\in \left[ 1;3\right] \)
\(x=3, y\in \left[ 0;2\right] \)
\(y=x-1, x\in \left[ 1;3\right] \)
i wstawiamy do funkcji. Kolejno otrzymujemy:
\(f \left( x\right)=x^3, x\in \left[ 1;3\right]\) - minimum w \(\left( 1,0 \right)=1\), maksimum w \(\left( 3,0 \right)=27\)
\(f \left( y\right)=27+y^2-2y, y\in \left[ 0;2\right]\) - minimum w \(\left( 3,1 \right)=26\), które ignorujemy, maksimum w \(\left( 3,2 \right)=27\)
\(f \left( x\right)=x^3 + \left( x-1\right)^2-2 \left( x-1\right) , x\in \left[ 1;3\right]\) - minimum w \(\left( 1,0 \right)=1\), maksimum w \(\left( 3,2 \right)=27\)
i chyba o to chodziło (jak nie, to trzeba całą powierzchnię trójkąta przeanalizować).

PS. Istnieje możliwość, że autorzy odpowiedzi/rozwiązania/zadania rozwiązali zadanie w sposób inny (niż podany w linkach czy powyższy) stąd wychodziły im dodatkowe punkty, które odrzucili - dla nas ta informacja jest zbędna, dla kogoś co też zna "inny" sposób, może być cenna (że poprawnie wykluczył te punkty).

[janusz55]

Trójkąt o wierzchołkach \( A(1,0), \ \ B(3,0), \ \ C(3,2) \) w układzie współrzędnych prostokątnych \( Oxy. \)

Możemy ten trójkąt z brzegiem opisać jako zbiór:

\( T = \{ (x,y)\in \rr^2: 1 \leq x \leq 3 \wedge0\leq y\leq x -1 \} \)

\( f(x,y) = x^2 + y^2 -2y;\)

Wyznaczamy \( \max_{T} (f(x,y)), \ \ \min_{T}(f(x,y)). \)

Rozwiązując układ równań:

\( \begin{cases} f'_{x}(x,y) =0 \\ f'_{y}(x,y) = 0 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} 2x = 0 \\ 2y -2 = 0 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y=1 \end{cases} \)

Punkt \( P(0,1) \) nie należy do wnętrza trójkąta \( T.\)

Funkcja nie ma więc ekstremum lokalnego wewnątrz trójkąta \( T.\)

Znajdujemy jej wartości na na brzegach trójkąta \( T.\)

\( br(\overline{AB}): \ \ 1 \leq x \leq 3, \ \ y = 0. \)

\( f(x,y) = f(x,0) = x^2, \ \ f(1,0) = 1^2 = 1, \ \ f(3,0) = 3^2 = 9.\)

\( br(\overline{BC}): \ \ x = 3. \ \ 0 \leq y \leq 2.\)

\( f(x,y) = f(3,y) = 9 + y^2-2y \)

\( y_{0}= \frac{2}{2}= 1.\)

\( f(3,1) = 9+1^2 -2\cdot 1 = 8.\)

\( f(3,0) = 9 + 0^2 - 2\cdot 0 = 9.\)

\( f(3,2) = 9 + 2^2 - 2\cdot 2 = 9 + 4 - 4 = 9.\)

\( br(\overline{AC}): 1 \leq x \leq 3, \ \ y = x-1. \)

\( f(x,y) = f(x, x-1) = x^2 +(x-1)^2 + 2(x-1) = x^2 + x^2 -2x +1 -2x +2 = 2x^2-4x +3.\)

\( x_{0}= \frac{4}{4} = 1, \ \ f(1) = 2\cdot 1^2-4\cdot 1 + 3 = 1.\)

\( f(1,0) = 2\cdot 1^2 -4\cdot 1 + 3 = 2 -4 +3 = 1.\)

\( f(3,2) = 2\cdot 3^2 -4\cdot 3 + 3 = 11.\)

\( max_{T} f(x,y) = \max\{1, 9, 8 ,11\} = 11.\)

\(min_{T}f(x,y) = min\{1,9, 8,11\} = 1.\)

Funkcja osiąga watość największą \( f_{max} \) w wierzchołku \( C(2,3),\) i wartość najmniejszą \( f_{min} = 1 \) w punkcie \( A \) i na boku trójkąta \( \overline{AC}.\)

Gdyby funkcja posiadała ekstremum (elstrema) lokalne wewnątrz trójkąta. Wartość tego ekstremum (ekstremów) należałoby uwzględnić w wyznaczaniu najmniejszej i największej wartości tej funkcji.

Zadanie rozwiązujemy analogicznie dla funkcji

\( f(x,y) = x^3 +y^2 - 2y. \)

[janusz55]

\( f(x,y) = x^3 +y^2 -2y. \)

\( T = \{(x,y)\in \rr^2 : 1 \leq x \leq 3 \wedge 0 \leq y \leq x- 1\}.\)

Wyznaczamy \( \max_{T} (f(x,y)), \ \ \min_{T}(f(x,y)). \)

Rozwiązując układ równań:

\( \begin{cases} f'_{x}(x,y) =0 \\ f'_{y}(x,y) = 0 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} 3x^2 = 0 \\ 2y -2 = 0 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y=1 \end{cases} \)

Punkt \( P(0,1) \) nie należy do wnętrza trójkąta \( T.\)

Funkcja nie ma więc ekstremum lokalnego wewnątrz trójkąta \( T.\)

Znajdujemy jej wartości na na brzegach trójkąta \( T:\)

\( br(\overline{AB}): \ \ 1 \leq x \leq 3, \ \ y = 0. \)

\( f(x,y) = f(x,0) = x^3, \ \ f(1,0) = 1^3 = 1, \ \ f(3,0) = 3^3 = 27.\)

\( br(\overline{BC}): \ \ x = 3, \ \ 0 \leq y \leq 2.\)

\( f(x,y) = f(3,y) = 27 + y^2-2y \)

\( y_{0}= \frac{2}{2}= 1.\)

\( f(3,1) = 27+1^2 -2\cdot 1 = 26.\)

\( f(3,0) = 27 + 0^2 - 2\cdot 0 = 27.\)

\( f(3,2) = 27 + 2^2 - 2\cdot 2 = 27 + 4 - 4 = 27.\)

\( br(\overline{AC}): 1 \leq x \leq 3, \ \ y = x-1. \)

\( f(x,y) = f(x,x-1) = x^3 +(x-1)^2 - 2(x-1) = x^3 + x^2 -2x +1 -2x +2 = x^3 +x^2 -4x +3.\)

\( f'(x) = 3x^2+2x -4 = 0 \)

\( \Delta = 4 -4\cdot 3 \cdot (-4) = 52.\)

\( x{1} = -\frac{1}{3}(1 + \sqrt{13})\approx -1,55.\)

\( x_{2} = -\frac{1}{3}(1-\sqrt{13})\approx 0,86.\)

\( f(-1,55) = (-1,55)^3 +(-1,55)^2 -4(-1,55) +3 \approx 7,88;\)

\( f(0,86) =(0,86)^3 + 0,86^2 -4(0,86)+3 \approx 0,94. \)

\( f(1,0) = 2\cdot 1^3 -4\cdot 1 + 3 = 2 -4 +3 = 1.\)

\( f(3,2) = 3^3 +2 \cdot 3 + 3 = 27 + 6 +3 = 36 .\)

\( max_{T} f(x,y) = \max\{26; 27; 7,88; 0,94; 1 ; 36\} = 36.\)

\(min_{T}f(x,y) = \min \{26; 27; 7,88; 0,94; 1 ; 36 \} = 1,0.\)

Funkcja osiąga wartość największą \( f_{max} = 36 \) w wierzchołku \( C(2, 3),\) i wartość najmniejszą \( f_{min} = 1,0 \) w wierzołku \( A \) boku \( \overline{AC} \) trójkąta.

Gdyby funkcja posiadała ekstremum lokalne wewnątrz trójkąta. Wartość tego ekstremów należałoby uwzględnić w wyznaczaniu najmniejszej i największej wartości tej funkcji.