zdarzenia niezależne

[icek1]

Uczeń ma dwa różne egzaminy w danym dniu, egzamin z fizyki i z języka obcego. Uczeń przygotowuje się do każdego egzaminu niezależnie od siebie. Wynik z egzaminu z fizyki nie wpływa na wynik egzaminu z języka obcego, i na odwrót.
Ile wynosi prawdopodobieństwo zdania egzaminu z fizyki, a ile zdania z języka obcego?

[janusz55]

Z treści zadania wynika, że mamy tu do czynienia z przestrzenią prób Bernoulliego .

\( (\Omega, \Sigma, P) \) będzie przestrzenią taką, że

\( \Omega = \{0, 1 \}, \ \ \Sigma = \mathcal{P}(\Omega), \ \ P(1) = p, \ \ P(0) = 1-p,\) dla pewnego ustalonego \( p\in (0,1).\)

gdzie:

\( 0 \) - przypisujemy na przykład zdarzeniu "egzamin niezdany", \( 1 \) - "egzamin zdany "

Wtedy iloczyn \( (\Omega^2, \Sigma^2, P^2) \) nazywamy przestrzenią Bernoulliego dla dwóch prób (w naszym przypadku zdawania egzaminów z fizyki i języka obcego).

Zdarzenie odpowiadające \( k \)- sukcesom w dwóch próbach

\( A_{k} = \{ (\omega_{1}, \omega_{2})\in \Omega^2: \sum_{i=1}^{2} \omega_{i} = k \} \)

Zauważmy, że dla \( \omega = (\omega_{1}, \omega_{2}) \in A_{2} \) zachodzi \( P(\{\omega\}) = P(\{\omega_{1}\})\cdot P(\{\omega_{2}\}) \)

Prawdopodobieństwo zdarzenia \( P^{2}(A_{k}) = {2 \choose k} p^{k} (1-p)^{2-k},\ \ k=0,1,2. \)

\( P^2(A_{0}) = {2\choose 0}p^{0}(1-p)^{2} = (1-p)^2 \) - prawdopodobieństwo " niezdania egzaminów z fzyki i języka obcego"

\( P^2(A_{1}) = {2\choose 1}p^{1}(1-p)^{1} = 2p(1-p \) - prawdopodobieństwo " zdania jednego z egzaminu z fzyki lub języka obcego"

\( P^2(A_{2}) = {2\choose 2}p^{2}(1-p)^{0} = p^2 \) - prawdopodobieństwo " zdania dwóch egzaminów z fzyki i języka obcego"

[icek1]

Czy w powyższym, powiemy o niezależności zdarzeń dwóch czy trzech czy może o warunkowej ich niezależności?
P(A ∩ B) = P(A)P(B) lub dla wielu zdarzeń niezależnych P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1)P(A2)P(A3), ewentualnie warunkowa P(A ∩ B | C) = P(A | C)P(B | C)

[janusz55]

Mamy niezależność trzech zdarzeń, polegających na zdawaniu egzaminu z fizyki i języka obcego.

Nie ma więc potrzeby uwzględniania prawdopodobieństw warunkowych.

[icek1]

a jak ten niezależny układ zdarzeń w tym przypadku wartościami liczbowymi rozpisać, tzn.
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
P(B ∩ C) = P(B) ⋅ P(C)
P(A ∩ C) = P(A) ⋅ P(C)
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) ⋅ P(B) ⋅ P(C)

[icek1]

Mamy niezależność trzech zdarzeń, polegających na zdawaniu egzaminu z fizyki i języka obcego.

Nie ma więc potrzeby uwzględniania prawdopodobieństw warunkowych.

a jak zatem zrobić ten test niezależności na tych danych z przykładu?

[janusz55]

Z jakiego przykładu ?

W modelu Bernoulliego \( p \in (0, 1) \) - prawdopodobieństwo zdania egzaminu z fizyki i języka obcego.

\( 1- p \) - prawdopodobieństwo nie zdania tych egzaminów.

[icek1]

Mamy niezależność trzech zdarzeń, polegających na zdawaniu egzaminu z fizyki i języka obcego.

Nie ma więc potrzeby uwzględniania prawdopodobieństw warunkowych.

Tę niezależność trzech zdarzeń polegających na zdawaniu egzaminu z fizyki i języka obcego., to przyjmuję z tego, że jest ona podana w treści zadania czy wnioskuję o niej, po obliczonych już prawdopodobieństwach - czyli

\( P^2(A_{0}) = {2\choose 0}p^{0}(1-p)^{2} = (1-p)^2 \) - prawdopodobieństwo " niezdania egzaminów z fzyki i języka obcego"

\( P^2(A_{1}) = {2\choose 1}p^{1}(1-p)^{1} = 2p(1-p \) - prawdopodobieństwo " zdania jednego z egzaminu z fzyki lub języka obcego"

\( P^2(A_{2}) = {2\choose 2}p^{2}(1-p)^{0} = p^2 \) - prawdopodobieństwo " zdania dwóch egzaminów z fzyki i języka obcego"

Chodzi mi jak wykazać przez wzór czy obliczenia, że te trzy zdarzenia są niezależne.

[janusz55]

\( P^2(A_{0}) = (1-p)^2 = (1-p)\cdot (1-p) = P(A_{01}) \cdot P(A_{02}).\)

\( P^2(A_{1}) = 2p(1-p) = p(1-p) + (1-p)p = P(A_{11})\cdot P(A_{01}) + P(A_{21})P(A_{02}).\)
................................................................................................................

Wykazywanie, że w schemacie Bernoulliego zdarzenia są niezależne jest zabiegiem sztucznym.

W istocie tego schematu tkwi niezależność zdarzeń, z których jedno kończy się "sukcesem'' drugie "porażką.

[icek1]

Dziekuję .