Zmienna losowa 𝑋 ~ 𝑁 (0,1).
a) Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej 𝑌: = 𝑋^2
b) Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej 𝑌: = 𝑒^𝑋
Jak to rozpisać? Bo ogólnie znam wzory i ten rozkład ale nie wiem o co chodzi w tym zapisie
rozkład normalny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1584
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 415 razy
Re: rozkład normalny
a)
\( X \sim \mathcal{N}(0,1) \)
\( Y \sim X^2?\)
Z dystrybuanty rozkładu i jej własności
\( F_{Y}(y) = P(\{X^2<y\}) = P( -\sqrt{y} < X < \sqrt{y}) = F_{X}(\sqrt{y}) - F_{X}(-\sqrt{y}).\)
Gęstość rozkładu
\( f_{Y}(y) = [F_{X}(\sqrt{y}) - F_{X}(-\sqrt{y})]' = \frac{1}{2\sqrt{y}} f_{X}(\sqrt{y}) + \frac{1}{2\sqrt{y}} f_{X}(-\sqrt{y})= \frac{1}{2\sqrt{y}} [f_{X}(\sqrt{y}) + f_{X})(-\sqrt{y})] \)
W szczególności, gdy zmienna losowa \( X \) ma rozkład \( \mathcal{N}(0,1) \) zmienna losowa \( Y = X^2\) ma rozkład \(\chi^2\) o gęstości
\( f_{Y}(y) =\frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot y}} e^{-\frac{y}{2}} I_{(0,\infty)}(y) \) z jednym stopniem swobody.
b)
\( Y \sim e^{X}?\)
\( F_{Y}(y)= P(\{Y <y\}) = P(\{e^{X}<y\}) = P(\{X< \ln(y)\}).\)
\( f_{Y}(y) = [F_{X}(\ln(y))]' = \frac{1}{y}f_{X}(\ln(y)) = \frac{1}{y\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{\ln^2(y)}{2}} I_{(0,\infty)(y)}. \)
Zmienna losowa \( Y = e^{X} \) ma rozkład logarytmiczno-normalny.
\( X \sim \mathcal{N}(0,1) \)
\( Y \sim X^2?\)
Z dystrybuanty rozkładu i jej własności
\( F_{Y}(y) = P(\{X^2<y\}) = P( -\sqrt{y} < X < \sqrt{y}) = F_{X}(\sqrt{y}) - F_{X}(-\sqrt{y}).\)
Gęstość rozkładu
\( f_{Y}(y) = [F_{X}(\sqrt{y}) - F_{X}(-\sqrt{y})]' = \frac{1}{2\sqrt{y}} f_{X}(\sqrt{y}) + \frac{1}{2\sqrt{y}} f_{X}(-\sqrt{y})= \frac{1}{2\sqrt{y}} [f_{X}(\sqrt{y}) + f_{X})(-\sqrt{y})] \)
W szczególności, gdy zmienna losowa \( X \) ma rozkład \( \mathcal{N}(0,1) \) zmienna losowa \( Y = X^2\) ma rozkład \(\chi^2\) o gęstości
\( f_{Y}(y) =\frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot y}} e^{-\frac{y}{2}} I_{(0,\infty)}(y) \) z jednym stopniem swobody.
b)
\( Y \sim e^{X}?\)
\( F_{Y}(y)= P(\{Y <y\}) = P(\{e^{X}<y\}) = P(\{X< \ln(y)\}).\)
\( f_{Y}(y) = [F_{X}(\ln(y))]' = \frac{1}{y}f_{X}(\ln(y)) = \frac{1}{y\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{\ln^2(y)}{2}} I_{(0,\infty)(y)}. \)
Zmienna losowa \( Y = e^{X} \) ma rozkład logarytmiczno-normalny.