Podstawa trójkąta równoramiennego i wysokość do niej poprowadzona mają długości równe odpowiednio 16 cm i 18 cm. Oblicz długość środkowej poprowadzonej z końca podstawy.
Z góry dziękuje
Planimetria
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1592
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: Planimetria
Rys.
Spodek wysokości trójkąta równoramiennego oznaczamy literką \( D.\)
Z trójkąta prostokątnego \( ADC \) lub \( DBC \) obliczamy odpowiednio długość jednego z jego ramion \( \overline{BC} = \overline{AC} \)
odpowiedź: \( |\overline{BC}| = |\overline{AC}| = 4\sqrt{23}. \)
Obliczamy wartości kosinusów kątów \( A \) lub \( B \)
odpowiedż: \( \frac{8}{4\sqrt{23}}= \frac{2}{\sqrt{23}}.\)
Z trójkąta \( ABE \) lub \( ABF \) - obliczamy kwadrat długości jednej ze środkowych \( \overline{BE} \) lub \( \overline{AF}
\) wzorem kosinusów (Carnota).
W treści zadania zadania pytają o długość środkowej \( \overline{BE} \) - wyprowadzoną z wierzchołka \( B \) (końca podstawy trójkąta).
Ze wzoru kosinusów (Carnota) obliczamy kwadrat długości tej środkowej:
\( |BF|^2 = |AB|^2 + |AE|^2 - 2|AB|\cdot |AE|\cdot \cos(B) \)
odpowiedź: \( |BF|^2= 220 \)
Długość środkowej \( \overline{BF} \) wynosi
odpowiedź: \( |BF| = 2\sqrt{55}.\)
Spodek wysokości trójkąta równoramiennego oznaczamy literką \( D.\)
Z trójkąta prostokątnego \( ADC \) lub \( DBC \) obliczamy odpowiednio długość jednego z jego ramion \( \overline{BC} = \overline{AC} \)
odpowiedź: \( |\overline{BC}| = |\overline{AC}| = 4\sqrt{23}. \)
Obliczamy wartości kosinusów kątów \( A \) lub \( B \)
odpowiedż: \( \frac{8}{4\sqrt{23}}= \frac{2}{\sqrt{23}}.\)
Z trójkąta \( ABE \) lub \( ABF \) - obliczamy kwadrat długości jednej ze środkowych \( \overline{BE} \) lub \( \overline{AF}
\) wzorem kosinusów (Carnota).
W treści zadania zadania pytają o długość środkowej \( \overline{BE} \) - wyprowadzoną z wierzchołka \( B \) (końca podstawy trójkąta).
Ze wzoru kosinusów (Carnota) obliczamy kwadrat długości tej środkowej:
\( |BF|^2 = |AB|^2 + |AE|^2 - 2|AB|\cdot |AE|\cdot \cos(B) \)
odpowiedź: \( |BF|^2= 220 \)
Długość środkowej \( \overline{BF} \) wynosi
odpowiedź: \( |BF| = 2\sqrt{55}.\)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3535
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Planimetria
Przyjmijmu oznaczenia jak na rysunku, z szybkimi wnioskami z własności trójkąta równoramiennego i środkowych:
|AM|={3\over2}\cdot|AS|=15\)
Pozdrawiam
\(|AS|=\sqrt{6^2+8^2}=10\\|AM|={3\over2}\cdot|AS|=15\)
Pozdrawiam
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 26
- Rejestracja: 05 kwie 2024, 00:17
- Otrzymane podziękowania: 8 razy
Re: Planimetria
Niezależnie od wybranego schematu rozwiązania zadania, wynik powinien wyjść ten sam.
Stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego \(ADC\) mamy
\(8^2+18^2=AC^2\)
\(AC= \sqrt{388}=2 \sqrt{97} \)
Wówczas \( \cos \beta = \frac{4}{ \sqrt{97} } \)
Zaś z twierdzenia cosinusów szukana środkowa \(BE=15\)
Stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego \(ADC\) mamy
\(8^2+18^2=AC^2\)
\(AC= \sqrt{388}=2 \sqrt{97} \)
Wówczas \( \cos \beta = \frac{4}{ \sqrt{97} } \)
Zaś z twierdzenia cosinusów szukana środkowa \(BE=15\)
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 26
- Rejestracja: 05 kwie 2024, 00:17
- Otrzymane podziękowania: 8 razy
Re: Planimetria
Nie rozumiem, dlaczego w twierdzeniu Pitagorasa jest wpisane \(12^2\), skoro w treści zadania wyraźnie jest napisane, że wysokość poprowadzona do podstawy wynosi \(18\).