Planimetria

[Antek5]

Podstawa trójkąta równoramiennego i wysokość do niej poprowadzona mają długości równe odpowiednio 16 cm i 18 cm. Oblicz długość środkowej poprowadzonej z końca podstawy.
Z góry dziękuje

RYSUNEK.png (9.33 KiB) Przejrzano 182 razy

[janusz55]

Rys.

Spodek wysokości trójkąta równoramiennego oznaczamy literką \( D.\)

Z trójkąta prostokątnego \( ADC \) lub \( DBC \) obliczamy odpowiednio długość jednego z jego ramion \( \overline{BC} = \overline{AC} \)

odpowiedź: \( |\overline{BC}| = |\overline{AC}| = 4\sqrt{23}. \)

Obliczamy wartości kosinusów kątów \( A \) lub \( B \)

odpowiedż: \( \frac{8}{4\sqrt{23}}= \frac{2}{\sqrt{23}}.\)

Z trójkąta \( ABE \) lub \( ABF \) - obliczamy kwadrat długości jednej ze środkowych \( \overline{BE} \) lub \( \overline{AF}
\) wzorem kosinusów (Carnota).

W treści zadania zadania pytają o długość środkowej \( \overline{BE} \) - wyprowadzoną z wierzchołka \( B \) (końca podstawy trójkąta).

Ze wzoru kosinusów (Carnota) obliczamy kwadrat długości tej środkowej:

\( |BF|^2 = |AB|^2 + |AE|^2 - 2|AB|\cdot |AE|\cdot \cos(B) \)

odpowiedź: \( |BF|^2= 220 \)

Długość środkowej \( \overline{BF} \) wynosi

odpowiedź: \( |BF| = 2\sqrt{55}.\)

[Jerry]

Przyjmijmu oznaczenia jak na rysunku, z szybkimi wnioskami z własności trójkąta równoramiennego i środkowych:

RYSUNEK.png (10 KiB) Przejrzano 156 razy

\(|AS|=\sqrt{6^2+8^2}=10\\
|AM|={3\over2}\cdot|AS|=15\)
Pozdrawiam

[trollini]

Niezależnie od wybranego schematu rozwiązania zadania, wynik powinien wyjść ten sam.
Stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego \(ADC\) mamy
\(8^2+18^2=AC^2\)
\(AC= \sqrt{388}=2 \sqrt{97} \)
Wówczas \( \cos \beta = \frac{4}{ \sqrt{97} } \)
Zaś z twierdzenia cosinusów szukana środkowa \(BE=15\)

[janusz55]

\( 8^2 + 12^2 = |AC|^2 \)

\( |AC|^2 = 64 + 144 = 208. \)

\( |AC| = \sqrt{208} = 4\sqrt{13}.\)

\( \cos(\beta)= \frac{8}{4\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}.\)

[trollini]

Nie rozumiem, dlaczego w twierdzeniu Pitagorasa jest wpisane \(12^2\), skoro w treści zadania wyraźnie jest napisane, że wysokość poprowadzona do podstawy wynosi \(18\).

[janusz55]

Wzorowałem się na rysunku Jerrego.

Jeżeli popatrzymy na rysunek Antka to masz rację.