https://ibb.co/8N5Yz1b
jak podejsc do tego ze jest to rozbite na przedzialy?
zmienna ciągła
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1585
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 417 razy
Re: zmienna ciągła
Mamy dane dwa rozkłady jednostajne zmiennych losowych \( X, \ \ Y \) o gęstościach odpowiednio:
\( f_{X}(x) = \begin{cases} 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{gdy} \ \ x<-1, \\ \frac{1}{0 -(-1)} = 1 \ \ \text{gdy} \ \ -1 \leq x\leq 0 , \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{gdy} \ \ x > 0. \end{cases} \)
\( f_{Y}(y) = \begin{cases} 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{gdy} \ \ y<2 \\ \frac{1}{4- 2} = \frac{1}{2} \ \ \ \ \ \text{gdy} \ \ -2 \leq y \leq 4 , \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{gdy} \ \ y> 4. \end{cases} \)
Musimy znaleźć dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej, która jest sumą tych dwóch zmiennych losowych:
\( F_{X+Y} (z) = \iint_{x+y\leq z}f_{X,Y}(x,y)dxdy = \iint_{x+y\leq z}f_{X}(x)\cdot f_{Y}(Y)dxdy = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{z-x}f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)dxdy.\)
\( f_{X+Y}(z) = \frac{dF_{X+Y}}{dz}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x)\cdot f_{Y}(z-x) dz. \)
\( f_{X}(x) = \begin{cases} 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{gdy} \ \ x<-1, \\ \frac{1}{0 -(-1)} = 1 \ \ \text{gdy} \ \ -1 \leq x\leq 0 , \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{gdy} \ \ x > 0. \end{cases} \)
\( f_{Y}(y) = \begin{cases} 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{gdy} \ \ y<2 \\ \frac{1}{4- 2} = \frac{1}{2} \ \ \ \ \ \text{gdy} \ \ -2 \leq y \leq 4 , \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{gdy} \ \ y> 4. \end{cases} \)
Musimy znaleźć dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej, która jest sumą tych dwóch zmiennych losowych:
\( F_{X+Y} (z) = \iint_{x+y\leq z}f_{X,Y}(x,y)dxdy = \iint_{x+y\leq z}f_{X}(x)\cdot f_{Y}(Y)dxdy = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{z-x}f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)dxdy.\)
\( f_{X+Y}(z) = \frac{dF_{X+Y}}{dz}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x)\cdot f_{Y}(z-x) dz. \)