Optymalizacja

[Rahel]

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe sześciokątne o objętości 9.
Wyznacz długości krawędzi tego graniastosłupa, którego pole powierzchni całkowitej będzie najmniejsze.

[Jerry]

Jeżeli \(x>0\) będzie krawędzią podstawy. Wtedy
\(6\cdot{x^2\sqrt3\over4}\cdot h=9\iff h={2\sqrt3\over x^2}\)
i funkcja pola powierzchni przyjmie postać
\(y=p(x)=2\cdot6\cdot{x^2\sqrt3\over4}+6x\cdot{2\sqrt3\over x^2}=3\sqrt3\cdot\left(x^2+{4\over x}\right)\wedge D=(0;+\infty)\)
Pozostaje wskazanie i uzasadnienie, że dla \(x=\sqrt[3]2\) funkcja przyjmuje wartość minimalną.

Pozdrawiam

[KawangThorny]

Rozwiązanie:

Obliczanie wysokości graniastosłupa:
Z wzoru na objętość graniastosłupa:

V = ⅓ * Bh = 9, gdzie B jest polem podstawy i h wysokością.

Pole podstawy sześciokąta foremnego o boku a można obliczyć ze wzoru:

B = 3√3 * a²

Podstawiając do wzoru na objętość:

9 = ⅓ * 3√3 * a² * h

h = 3 / (√3 * a²)

Wyrażenie pola powierzchni całkowitej:
Pole powierzchni całkowitej (TC) graniastosłupa składa się z pola powierzchni podstawy (B) i sześciu pól powierzchni bocznych (Sb):

TC = B + 6Sb

Pole powierzchni bocznej trójkąta równobocznego o boku a można obliczyć ze wzoru:

Sb = ½ * ah

W tym przypadku a = krawędź podstawy sześciokąta i h = wysokość graniastosłupa obliczona wcześniej.

TC = 3√3 * a² + 6 * ½ * a * (3 / (√3 * a²))

TC = 3√3 * a² + 9a / √3

Minimalizacja pola powierzchni całkowitej:
Aby znaleźć wartość a, dla której TC jest minimalne, musimy zminimalizować wyrażenie:

3√3 * a² + 9a / √3

Można to zrobić za pomocą rachunku różniczkowego. Obliczenie pochodnej i przyrównanie jej do zera daje:

6a - 9 / (a√3) = 0

a³ = 3√3 / 2

a = (3√3)^(1/3)

Weryfikacja minimum:
Obliczona wartość a musi odpowiadać minimum funkcji TC. Można to sprawdzić, analizując drugą pochodną.

Wyznaczenie długości krawędzi:
a = (3√3)^(1/3) ≈ 1.155

Otrzymana wartość a jest długością krawędzi podstawy sześciokąta o najmniejszej powierzchni całkowitej i objętości 9.

Uwaga: Należy pamiętać, że graniastosłup o najmniejszej powierzchni całkowitej przy danej objętości będzie miał również minimalną wysokość.