Zad.3. Wyznaczyć stałą a i b tak by dana funkcja była dystrybuantą zmiennej losowej X:
𝐹(𝑥) =
0 dla 𝑥 ≤ 𝑎
\( 𝑥^2/2 −x/2 \) dla 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏
1 dla 𝑥 > 𝑏
wiem jedynie ze odpowiedz to a = 1 b = 2
nie wiem jak to zrobic
mam tylko pomysl ze F(b) - F(a) = 1
i ze lim f(x) w nieskonczonosci = 1
wiem ze odpowiedz ma byc a = 1 b = 2
zmienna losowa ciagla
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 2038
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 489 razy
Re: zmienna losowa ciagla
Zapiszmy dystrybuantę zmiennej losowej \( X \) w postaci klamerkowej:
\( F_{X}(x) = \begin{cases} 0 \ \ \text{dla} \ \ x\leq a, \\ \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} \ \ \text{dla} \ \ a < x \leq b, \\ 1 \ \ \text{dla} \ \ x>b. \end{cases} \)
Aby wyznaczyć wartości końców przedziałów \( a, b \) dystrybuanty zmiennej losowej \( X, \) wykorzystamy własności dystrybuanty zmiennej losowej ciągłej.
Funkcja gęstości zmiennej
\( f_{X}(x) = F'(x) \)
\( f_{X}(x) = \begin{cases} 0 \ \ \text{dla} \ \ x<a, \\ x - \frac{1}{2} \ \ \text{dla} \ \ a<x <b, \\ 0 \ \ \text{dla} \ \ x >b. \end{cases} \)
Z własności funkcji gęstości zmiennej losowej ciągłej
\( \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) = \int_{-\infty}^{a} 0dx + \int_{a}^{b} \left(x-\frac{1}{2}\right) dx + \int_{b}^{\infty} 0dx = 1. \)
Stąd
\( 0 + \left[\frac{x^2}{2} +\frac{1}{2}x \right]_{a}^{b} + 0 = 1 \)
\( \frac{b^2}{2} -\frac{b}{2} - \frac{a^2}{2} + \frac{a}{2} = 1 \)
\( -a^2 + a = 2 -b^2+b \ \ (*)\)
Z ciągłości dystrybuanty
\( \Lim_{x\to b} \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} \right) =1\)
\( \frac{b^2}{2} -\frac{b}{2} = 1, \)
\( b^2 - b - 2 = 0. \ \ (**) \)
Z układu równań \( (*), (**) \)
\( \begin{cases} -a^2 + a = 2 -b^2+b, \\ \ \ b^2 - b - 2 = 0. \end{cases} \)
znajdujemy wartości \( a \) i \( b. \)
Rozwiązujemy drugie równanie układu:
\( b^2 - b - 2 = 0 \)
\( \Delta = (-1)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-2) = 9.\)
\( \sqrt{\Delta} = \sqrt{9} = 3.\)
\( b_{1} = \frac{1+3}{2} = 2 \)
lub
\( b_{2} = \frac{1-3}{2} = -1 \) - nie odpowiada warunkom zadania.
Podstawiamy \( b= 2 \) do równania pierwszego układu
\( -a^2+a = 0 \)
\( -a(a-1) = 0 \)
\( a = 1. \)
lub
\( a = 0 \) - nie odpowiada warunkom zadania.
Dla \( a = 1 \) i \( b = 2 \)
funkcja
\( F_{X}(x) = \begin{cases} 0 \ \ \text{dla} \ \ x\leq 1, \\ \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} \ \ \text{dla} \ \ 1 < x \leq 2, \\ 1 \ \ \text{dla} \ \ x>2. \end{cases} \)
jest dystrybuantą zmiennej losowej \( X.\)
\( F_{X}(x) = \begin{cases} 0 \ \ \text{dla} \ \ x\leq a, \\ \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} \ \ \text{dla} \ \ a < x \leq b, \\ 1 \ \ \text{dla} \ \ x>b. \end{cases} \)
Aby wyznaczyć wartości końców przedziałów \( a, b \) dystrybuanty zmiennej losowej \( X, \) wykorzystamy własności dystrybuanty zmiennej losowej ciągłej.
Funkcja gęstości zmiennej
\( f_{X}(x) = F'(x) \)
\( f_{X}(x) = \begin{cases} 0 \ \ \text{dla} \ \ x<a, \\ x - \frac{1}{2} \ \ \text{dla} \ \ a<x <b, \\ 0 \ \ \text{dla} \ \ x >b. \end{cases} \)
Z własności funkcji gęstości zmiennej losowej ciągłej
\( \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) = \int_{-\infty}^{a} 0dx + \int_{a}^{b} \left(x-\frac{1}{2}\right) dx + \int_{b}^{\infty} 0dx = 1. \)
Stąd
\( 0 + \left[\frac{x^2}{2} +\frac{1}{2}x \right]_{a}^{b} + 0 = 1 \)
\( \frac{b^2}{2} -\frac{b}{2} - \frac{a^2}{2} + \frac{a}{2} = 1 \)
\( -a^2 + a = 2 -b^2+b \ \ (*)\)
Z ciągłości dystrybuanty
\( \Lim_{x\to b} \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} \right) =1\)
\( \frac{b^2}{2} -\frac{b}{2} = 1, \)
\( b^2 - b - 2 = 0. \ \ (**) \)
Z układu równań \( (*), (**) \)
\( \begin{cases} -a^2 + a = 2 -b^2+b, \\ \ \ b^2 - b - 2 = 0. \end{cases} \)
znajdujemy wartości \( a \) i \( b. \)
Rozwiązujemy drugie równanie układu:
\( b^2 - b - 2 = 0 \)
\( \Delta = (-1)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-2) = 9.\)
\( \sqrt{\Delta} = \sqrt{9} = 3.\)
\( b_{1} = \frac{1+3}{2} = 2 \)
lub
\( b_{2} = \frac{1-3}{2} = -1 \) - nie odpowiada warunkom zadania.
Podstawiamy \( b= 2 \) do równania pierwszego układu
\( -a^2+a = 0 \)
\( -a(a-1) = 0 \)
\( a = 1. \)
lub
\( a = 0 \) - nie odpowiada warunkom zadania.
Dla \( a = 1 \) i \( b = 2 \)
funkcja
\( F_{X}(x) = \begin{cases} 0 \ \ \text{dla} \ \ x\leq 1, \\ \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} \ \ \text{dla} \ \ 1 < x \leq 2, \\ 1 \ \ \text{dla} \ \ x>2. \end{cases} \)
jest dystrybuantą zmiennej losowej \( X.\)