Trójkąt - dowód

[anilewe_MM]

W trójkącie ABC, w którym |AC|:|AB|=3:1, punkty D, E należą do boku BC i \( |\angle BAD|=|\angle DAE|=\angle EAC|=\alpha \).
Wykaż, że \(\frac{|AD|}{|AE|}=\frac{2\cos\alpha+3}{6\cos\alpha+1}\).

[Jerry]

1. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

   

2. Z \(\Delta DCA,\ \Delta BDA\) i tw. Snelliusa:
   \[:\underline{\begin{cases}\frac{p+q}{\sin2\alpha}=\frac{3c}{\sin\beta}\\\frac{m}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin\beta'}\end{cases}}\\ \frac{p+q}{2\cos\alpha\cdot m}=3\\ \frac{p+q}{m}=6\cos\alpha\\\frac{p+q+m}{m}=6\cos\alpha+1\\ m=\frac{m+p+q}{6\cos\alpha+1}\]
3. Z \(\Delta BEA,\ \Delta ECA\) i tw. Snelliusa:
   \[:\underline{\begin{cases}\frac{m+p}{\sin2\alpha}=\frac{c}{\sin\gamma}\\\frac{q}{\sin\alpha}=\frac{3c}{\sin\gamma'}\end{cases}}\\ \frac{m+p}{2\cos\alpha\cdot q}={1\over3}\\ \frac{m+p}{q}={2\over3}\cos\alpha\\\frac{m+p+q}{q}={2\over3}\cos\alpha+1\\ q=\frac{m+p+q}{{2\over3}\cos\alpha+1}\]
4. Z \(\Delta DCA,\ \Delta BEA\) i tw. o podziale boku trójkąta dwusieczną kąta wewnętrznego:
   \[:\underline{\begin{cases}{x\over p}={3c\over q}\\{y\over p}={c\over m}\end{cases}}\\ {x\over y}={3m\over q}\\ {x\over y}=3\cdot {m+p+q\over 6\cos\alpha+1}\cdot\frac{{2\over3}\cos\alpha+1}{m+p+q}=\frac{2\cos\alpha+3}{6\cos\alpha+1}\qquad\text{CKD}\]

Pozdrawiam