Równanie

[sylwia_szamkowska]

Hej, proszę o pomoc z poniższym równaniem

y' - 2y/x = x^3e^x

Z góry dziękuuje <3

[janusz55]

\( y^{'} -2\frac{y}{x} = x^3\cdot e^{x} \ \ (*)\)

Równanie różniczkowe - zwyczajne pierwszego rzędu liniowe.

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego

\( y^{'}(x) -2\frac{y(x)}{x} = 0 \)

Rozdzielenie zmiennych

\( \frac{dy}{y(x)} = 2\frac{dx}{x} \)

\( \int \frac{dy}{y(x)} = 2\int \frac{dx}{x} \)

\( \ln(|y(x)|) = 2\ln(|x|) + \ln (c_{1}) = \ln (c_{1})\cdot x^2.\)

\( y_{o}(x) = c_{1}\cdot x^2\)

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego znajdujemy metodą uzmiennienia stałej.

\( y_{s}(x) = c_{1}(x)\cdot x^2 \)

\(y^{'}_{s}(x) = c^{'}_{1}(x)\cdot x^2 +2 c_{1}\cdot x \)

Podstawiamy \( y_{s} \) i \( y^{'}_{s} \) do równania \( (*) \)

\( c^{'}_{1}(x)\cdot x^2 +2\cdot c_{1}(x)\cdot x -2\cdot c_{1}(x)\cdot x = x^3\cdot e^{x}\)

\( c^{'}_{1}(x)\cdot x^2 = x^3\cdot e^{x}\)

\(c^{'}_{1}(x) = x\cdot e^{x}\)

\( c_{1}(x) = \int x\cdot e^{x} dx = x\cdot e^{x} - \int 1\cdot e^{x} = xe^{x} - e^{x} + c_{2} \) (całkowanie przez części).

\( y_{s}(x) = c_{1}(x)\cdot x^2 = x^3\cdot e^{x} - x^2\cdot e^{x} +c_{2} \cdot x^2 \)

Rozwiązanie ogólne równania \( (*) \)

\( y(x) = y_{o}(x) + y_{s}(x) = c_{1}\cdot x^2+ x^3\cdot e^{x} - x^2\cdot e^{x} + c_{2} \cdot x^2 = c\cdot x^2+ x^3\cdot e^{x} - x^2\cdot e^{x}, \)

gdzie stała

\( c = c_{1}+ c_{2}. \)

[sylwia_szamkowska]

Dziekuje :*