Hej, proszę o pomoc z poniższym równaniem
y' - 2y/x = x^3e^x
Z góry dziękuuje <3
Równanie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Witam na forum
- Posty: 2
- Rejestracja: 09 kwie 2024, 08:20
- Podziękowania: 1 raz
- Płeć:
-
- Fachowiec
- Posty: 1596
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: Równanie
\( y^{'} -2\frac{y}{x} = x^3\cdot e^{x} \ \ (*)\)
Równanie różniczkowe - zwyczajne pierwszego rzędu liniowe.
Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego
\( y^{'}(x) -2\frac{y(x)}{x} = 0 \)
Rozdzielenie zmiennych
\( \frac{dy}{y(x)} = 2\frac{dx}{x} \)
\( \int \frac{dy}{y(x)} = 2\int \frac{dx}{x} \)
\( \ln(|y(x)|) = 2\ln(|x|) + \ln (c_{1}) = \ln (c_{1})\cdot x^2.\)
\( y_{o}(x) = c_{1}\cdot x^2\)
Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego znajdujemy metodą uzmiennienia stałej.
\( y_{s}(x) = c_{1}(x)\cdot x^2 \)
\(y^{'}_{s}(x) = c^{'}_{1}(x)\cdot x^2 +2 c_{1}\cdot x \)
Podstawiamy \( y_{s} \) i \( y^{'}_{s} \) do równania \( (*) \)
\( c^{'}_{1}(x)\cdot x^2 +2\cdot c_{1}(x)\cdot x -2\cdot c_{1}(x)\cdot x = x^3\cdot e^{x}\)
\( c^{'}_{1}(x)\cdot x^2 = x^3\cdot e^{x}\)
\(c^{'}_{1}(x) = x\cdot e^{x}\)
\( c_{1}(x) = \int x\cdot e^{x} dx = x\cdot e^{x} - \int 1\cdot e^{x} = xe^{x} - e^{x} + c_{2} \) (całkowanie przez części).
\( y_{s}(x) = c_{1}(x)\cdot x^2 = x^3\cdot e^{x} - x^2\cdot e^{x} +c_{2} \cdot x^2 \)
Rozwiązanie ogólne równania \( (*) \)
\( y(x) = y_{o}(x) + y_{s}(x) = c_{1}\cdot x^2+ x^3\cdot e^{x} - x^2\cdot e^{x} + c_{2} \cdot x^2 = c\cdot x^2+ x^3\cdot e^{x} - x^2\cdot e^{x}, \)
gdzie stała
\( c = c_{1}+ c_{2}. \)
Równanie różniczkowe - zwyczajne pierwszego rzędu liniowe.
Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego
\( y^{'}(x) -2\frac{y(x)}{x} = 0 \)
Rozdzielenie zmiennych
\( \frac{dy}{y(x)} = 2\frac{dx}{x} \)
\( \int \frac{dy}{y(x)} = 2\int \frac{dx}{x} \)
\( \ln(|y(x)|) = 2\ln(|x|) + \ln (c_{1}) = \ln (c_{1})\cdot x^2.\)
\( y_{o}(x) = c_{1}\cdot x^2\)
Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego znajdujemy metodą uzmiennienia stałej.
\( y_{s}(x) = c_{1}(x)\cdot x^2 \)
\(y^{'}_{s}(x) = c^{'}_{1}(x)\cdot x^2 +2 c_{1}\cdot x \)
Podstawiamy \( y_{s} \) i \( y^{'}_{s} \) do równania \( (*) \)
\( c^{'}_{1}(x)\cdot x^2 +2\cdot c_{1}(x)\cdot x -2\cdot c_{1}(x)\cdot x = x^3\cdot e^{x}\)
\( c^{'}_{1}(x)\cdot x^2 = x^3\cdot e^{x}\)
\(c^{'}_{1}(x) = x\cdot e^{x}\)
\( c_{1}(x) = \int x\cdot e^{x} dx = x\cdot e^{x} - \int 1\cdot e^{x} = xe^{x} - e^{x} + c_{2} \) (całkowanie przez części).
\( y_{s}(x) = c_{1}(x)\cdot x^2 = x^3\cdot e^{x} - x^2\cdot e^{x} +c_{2} \cdot x^2 \)
Rozwiązanie ogólne równania \( (*) \)
\( y(x) = y_{o}(x) + y_{s}(x) = c_{1}\cdot x^2+ x^3\cdot e^{x} - x^2\cdot e^{x} + c_{2} \cdot x^2 = c\cdot x^2+ x^3\cdot e^{x} - x^2\cdot e^{x}, \)
gdzie stała
\( c = c_{1}+ c_{2}. \)
-
- Witam na forum
- Posty: 2
- Rejestracja: 09 kwie 2024, 08:20
- Podziękowania: 1 raz
- Płeć: