Romb o kącie ostrym 60 stopni Bryła 120 cm3

[Deau]

Romb o kącie \(60^\circ\) obrócono wokół prostej zawierającej dłuższą przekątna czworokąta i otrzymano bryle B o obojętności \(120 \pi \text{ cm}^3\). Oblicz objętość kuli wpisanej w te bryłę

[janusz55]

Jesli wykonamy staranny rysunek rombu i obrócimy go wokół dłuższej przekątnej, to w wyniku obrotu otrzymamy bryłę \( B \) złożoną z - dwóch przystających wspólną podstawą stożków o kącie rozwarcia \( 60^{o}.\)

Z treści zadania objętość objętość tej bryły

\(|V| = \frac{2}{3}\pi R^2 H = 120 \pi \ \ cm^3 \ \ (*)\)

Z sinusa połowy kąta rozwarcia \( \sin(30^{o}) = \frac{r}{H}, \)

gdzie \( r \) - długość promienia kuli wpisanej.

Stąd

\( H = \frac{r}{\sin(30^{o})} \)

Podstawiamy \( H \) do równania \( (*) \)

Z równania \( (*) \) obliczamy \( r. \)

Objętość tej kuli wpisanej jest równa \( |V_{k}| = \frac{4}{3}\pi r^3.\)

Proszę w przyszłośći poprawić swój zapis w \( \LaTeX.\)

[Jerry]

Wg mnie:

Przekrojem osiowym interesującej nas bryły jest dany romb o nieznanym boku \(a>0\) i przekątnych \(a\) i \(a\sqrt3\), które są, odpowiednio, średnicą wspólnej podstawy dwóch stożków i wysokością bryły. Zachodzi zatem równość:
\[{1\over3}\cdot\pi\cdot \left({1\over2}a\right)^2\cdot a\sqrt3=120\pi\\\ldots\\
a=2\sqrt[6]{10800}\text{ cm}\]
Promień kuli wpisanej jest równocześnie promieniem okręgu wpisanego w dany romb, czyli połową wysokości rombu:
\[r={1\over2}\cdot{a\sqrt3\over2}=\ldots={3\sqrt[6]{400}\over2}\text{ cm}\]
Zatem objętość kuli jest równa:
\[V_Q={4\over3}\cdot\pi\cdot\left({3\sqrt[6]{400}\over2}\right)^3=\ldots=90\pi\text{ cm}^3\]
Pozdrawiam
PS. Rachunki do sprawdzenia...